導數(Derivative)是微積分學中重要的基礎概念.一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。
導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近.當函數f的自變量在一點x0上產生一個增量h時,函數輸出值的增量與自變量增量h的比值在h趨於0時的極限存在,即爲f在x0處的導數, 記作.y'、、或。
幾何意義:
表示函數曲線在點P0(x0,f(x0))處的切線的斜率(導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率)。
對於可導的函數,也是一個函數,稱作的導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱爲求導。反之,已知導函數也可以倒過來求原來的函數,即不定積分。
一般定義
即:
也可記作 、 、 或 。
導數與微分
微分也是一種線性描述函數在一點附近變化的方式。微分和導數是兩個不同的概念。但是,對一元函數來說,可微與可導是完全等價的。可微的函數,其微分等於導數乘以自變量的微分,換句話說,函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此,導數也叫做微商。函數的微分又可記作。
基本函數的導數
1、導數的四則運算:
2、原函數與反函數導數關係(由三角函數導數推反三角函數的):
y=f(x)的反函數是x=g(y),則有y'=1/x'。
3、複合函數的導數:
複合函數對自變量的導數,等於已知函數對中間變量的導數,乘以中間變量對自變量的導數(稱爲鏈式法則)。
4、變限積分的求導法則:
(a(x),b(x)爲子函數)
高階導數:
一階導數的導數稱爲二階導數,二階以上的導數可由歸納法逐階定義。二階和二階以上的導數統稱爲高階導數。
y = f(x)的導數 y = f'(x)仍是 x 的函數,通常把導函數y=f'(x) 的導數叫做函數的二階導數,記作:f''(x),y" 即
分別記作:
或者寫爲:
二階及二階以上的導數統稱爲高階導數。
偏導數
如果有函數 其自變量不是單個實數,而是多於一個元素,例如:
這時可以把其中一個元素(比如 )看做參數,那麼 可以看做是關於另一個元素的參數函數:
也就是說,對於某個確定的 ,函數 就是一個關於 的函數。在 固定的情況下,可以計算這個函數 關於 的導數。
這個表達式對於所有的 都對。這種導數稱爲偏導數,一般記作:
這裏的符號 ∂ 是字母 的圓體變體,一般讀作 的首音節或讀“偏”,以便與 區別。
更一般地來說,一個多元函數 在點 處對 的偏導數定義爲:
上面的極限中,除了 外所有的自變元都是固定的,這就確定了一個一元函數:
因此,按定義有:
偏導數的實質仍然是一元函數的導數。
多變量函數的一個重要的例子,是從(例如 或)映射到上的標量值函數 。在這種情況下, 關於每一個變量 都有偏導數。在點 ,這些偏導數定義了一個向量:
。
這個向量稱爲 在點 的梯度.
如果 在定義域中的每一個點都是可微的,那麼梯度便是一個向量值函數,它把點 映射到向量 。這樣,梯度便決定了一個向量場。
參考:
https://blog.csdn.net/richard9006/article/details/85037690
https://www.cnblogs.com/ms-uap/p/9957269.html
https://www.cnblogs.com/lingjiajun/p/9895753.html
https://www.jianshu.com/p/5eee8a30cbdb