导数(Derivative)是微积分学中重要的基础概念.一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近.当函数f的自变量在一点x0上产生一个增量h时,函数输出值的增量与自变量增量h的比值在h趋于0时的极限存在，即为f在x0处的导数, 记作.y'、、 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$ 。

几何意义：

表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

对于可导的函数， $x \mapsto f'(x)$ 也是一个函数，称作的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。

一般定义

设有定义域和取值都在实数域中的函数 $y=f(x)\;$ 。若 $f(x)\;$ 在点 $\;x_0\;$ 的某个邻域内有定义，则当自变量 $\;x\;$ 在 $\;x_0\;$ 处取得增量 $\Delta x\;$ （点 $\;x_0+\Delta x\;$ 仍在该邻域内）时，相应地 $\;y\;$ 取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\,\!$ ；如果 $\Delta \;y\;$ $\Delta \;x\;$ 之比当 $\Delta x\to 0$ 时的极限存在，则称函数 $y=f(x)\,\!$ 在点 $\;x_0\;$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)\,\!$ 在点 $\;x_0\;$ 处的导数，记为 $f'(x_0)\;$ :

即： $f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

也可记作 $y^\prime (x_0)$ 、 $\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$ 、 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$ 。

导数与微分

微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数的微分又可记作 $\mathrm{d}y = f'(x)\mathrm{d}x$ 。

基本函数的导数

1、导数的四则运算：

2、原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：

y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y'=1/x'。

3、复合函数的导数：

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（称为链式法则）。

4、变限积分的求导法则：

（a（x）,b（x）为子函数）

高阶导数：

一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。

y = f(x)的导数 y = f'(x)仍是 x 的函数，通常把导函数y=f'(x) 的导数叫做函数的二阶导数，记作:f''(x),y" 即

或者写成：

类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，即

分别记作：

或者写为：

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。

偏导数

如果有函数其自变量不是单个实数，而是多于一个元素，例如： $f(x,y) = x^2 + xy + y^2.\,$

这时可以把其中一个元素（比如）看做参数，那么可以看做是关于另一个元素的参数函数：

$f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,$

也就是说，对于某个确定的，函数就是一个关于的函数。在固定的情况下，可以计算这个函数关于的导数。 $f_a'(y) = a + 2y\,$

这个表达式对于所有的都对。这种导数称为偏导数，一般记作：

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y$

这里的符号 ∂ 是字母的圆体变体，一般读作 $\delta$ 的首音节或读“偏”，以便与区别。

更一般地来说，一个多元函数 $f \left( x_1 , x_2 , \cdots, x_n \right)$ 在点 $\left( a_1 , a_2 , \cdots, a_n \right)$ 处对 $x_{i}$ 的偏导数定义为：

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}.$

上面的极限中，除了 $x_{i}$ 外所有的自变元都是固定的，这就确定了一个一元函数：

$f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n)$

因此，按定义有：

${\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

偏导数的实质仍然是一元函数的导数。

多变量函数的一个重要的例子，是从 $\mathbf{R}^n$ （例如 $\mathbf{R}^2$ 或 $\mathbf{R}^3$ ）映射到 $\mathbf{R}$ 上的标量值函数 $f \left( x_1 , x_2 , \cdots, x_n \right)$ 。在这种情况下，关于每一个变量 $x_{i}$ 都有偏导数 ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ 。在点 $x=\boldsymbol{a}$ ，这些偏导数定义了一个向量：

$\nabla f({\boldsymbol {a}})=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})\right]$ 。