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同態加密的歷史
基於格上的加密
格
1、後量子密碼候選
2、簡單、快速、方便的並行
3、應用廣泛（在同態加密、屬性加密等使用）
基於格上的加密：
1、可以實現很好的線性操作
2、支持 “循環安全”：加密算法不依賴於密鑰
LWE
利用“高斯消元法”在有限時間內可以解這個方程組（函數）：
加入噪聲後，再使用高斯消元法就不能解：
LWE可以分爲兩個版本：
1、SLWE：搜索問題（給出B、b、e難以計算出t）
2、DLWE：判定問題（給出B，b=Bt+e，難以區分b和一個隨機取的一個向量）
RLWE
將運算從整數上轉到環上，其他的沒怎麼變換
基於格上的公鑰加密
Regev方案
不正式的表述：
正式的表述：
對偶的Regev方案
和之前方案的不同之處就是：噪聲出現的位置不同（噪音不是在公鑰中，而是在密文上）
非正式表述：
正式表述：
RLWE加密
基於RLWE加密方案，加密的消息mm可以是多比特，而基於LWE上的假設m只能是單比特：
全同態加密
既支持加法又支持乘法
時間線
SEAL庫：
1、實現了隱私計算求交協議
2、實現Bootstrapping
三代FHE：
1、基於Gentry提出的基於理想格，使用自舉（Bootstrapping）、重加密技術實現的FHE
2、基於LWE和RLWE，使用重線性化（relinearization）、模交換（module switch）、密鑰交換（Key Switch）約減噪音、降維，例如：BV11、BGV、BFV，Bra等
3、運算不是向量之間運算，而是矩陣之間運算，不使用密鑰交換技術降維，例如：GSW，CKKS等
BV11
基於LWE的方案：
其中密文乘法運算出現密文維數膨脹問題，這裏使用密鑰交換（Key Switch）技術降維：
密鑰交換技術是較爲成熟的降維技術
基於RLWE的方案：
舉個栗子：
GSW
具體參考：GSW13
FHE的應用
1、不可區分性混淆
一個程序混淆後，仍然可以計算
2、相關難解問題
給出R(x,H(x))難以求x
3、同態加密的機器學習
4、安全多方計算
基於門限的全同態加密：結合祕密共享技術
1、參與方通過祕密共享的方式將自己的私鑰切分， 然後將相應的切分後份額廣播出去；對方收到別人廣播的私鑰信息後，就會重構自己的私鑰
2、參與方用自己的公鑰加密加密信息，並將密文發送給第三方，第三方將所有的密文做同態運算，將求得的結果返回給各個參與方
3、參與方收到第三方的密文，只能使用自己重構的私鑰去解密（拉格朗日多項式恢復明文）
Mutikey FHE方案：
各個參與方都擁有各自的公私鑰對，對第三方發來的密文，使用各自的私鑰解密，只是其中明文的一部分，最後還需將所有參與方解密的明文部分重構，才能得到最終的明文
5、隱私計算集合求交
相容性檢測：
明文和密文計算
總的來說，同態加密可與祕密共享、簽名結合構造出新的應用