1. “好玩”的加拿大數學課
加拿大的小學，一切以好玩爲上。萬聖節大概是最好玩的一個節日，到了節前，學校的一切教學活動似乎都披上了南瓜色的紗巾，戴上了鬼鬼怪怪的面罩。語文也就罷了，數學課怎麼跟萬聖節掛鉤呢？好辦！做應用題。
我們小時候的數學應用題應該是：“紅星農場一大隊養了10頭豬，二大隊養了5頭牛，三大隊養了14頭羊，一共有多少頭牲畜？”加拿大小學生萬聖節版的題目是：“16名女巫在煮湯。她們往湯裏放了10個眼珠，10個香蕉，5顆糖和3只老鼠。湯裏一共有多少樣東西？”
除了算術，編程也是數學課的內容。小學低年級的編程並不學習編程語言，而重在培養圖形化、程序化的邏輯思維。萬聖節版的編程課上出現了一張充滿了幽靈、南瓜、骷髏和巫師的圖畫，用九宮格分割開，橫縱座標軸上分別標上號碼。題目則是“巫師在哪個格子”、“幽靈在哪個格子”之類，需要用座標位置來回答，比如“巫師在2C”、“幽靈在3C”。
加拿大中小學只有省頒教學大綱，沒有統一教材，教學內容和材料全憑老師自由選擇。我不知道這樣滿溢出節日歡樂氣氛的教學內容是我女兒班上這位老師的別出心裁還是普遍的流行做法。
好玩是肯定的，小朋友們對巫婆的湯準保比對紅星農場的豬更有興趣。不過，二年級了才做幾道這樣簡單的加減法，是不是有點讓人焦慮？
2. 值得解讀的數學成績
焦慮的不只是華人家長，對中小學數學成績的不滿是加拿大媒體長期關注的焦點。最近十多年，加拿大9年級學生在經合組織旗下的PISA國際學生評估項目中數學得分每況愈下。PISA每三年進行一次測試，評估全球幾十個國家15歲學生閱讀、數學、科學三個方面的素養，最近的一期是2018年。由於疫情影響，原定2021年的測試將推遲到2022年。
2018年的測試成績中加拿大閱讀成績排名第6，在西方8國集團中位居榜首，但數學成績卻只能排到第12名，中值分數更是從2003年的532分一路下滑到了2018年的512分。面對這樣的成績，本地媒體不斷對教育政策、教學大綱提出質疑，而素來以數學成績自傲的華人家長更是對加拿大的數學教育大搖其頭。
若是橫向對比一下，更是令人揪心。在數學排行榜上前7名全是東亞經濟體，中國（北京-上海-江蘇-浙江）毫無懸念地高居榜首，新加坡排名第二，中國澳門和中國香港分列三、四名。PISA把測試成績分爲6等，最高的第6和第5兩個等級沒有任何國家入選，而這四個國家和地區被PISA列爲第4等級。在次一等的第3等級中，中國臺北、日本、韓國、愛沙尼亞、荷蘭、波蘭、瑞士均排在加拿大前面。
身爲一名生活在加拿大的華人家長，我也不可免俗地爲女兒接受的數學教育懸着心，並且跟許多朋友一樣在課外給孩子開起了小竈，讓她提前學習、提前練習。但這樣做究竟是不是有效，究竟是不是合理？我心頭始終有些疑問——如果用加拿大的教材提前學習，無非是早一點學，但學習內容的難度並沒有增加，這樣做有用嗎？如果拋開加拿大的教材而採用中國的方法，那麼國內教育界和媒體一直在反思題海戰術，“雙減”更是最近改革的主題，我們本已脫離了國內教育的“內卷”又爲什麼一定要主動投進那個染缸呢？
帶着這些疑問，我仔細研究了一下PISA測試的內容和結果。
首先來看考試的題目。2012年的數學測試中有這樣一組關於賣報紙的題目。
Z國有兩份報紙同時登出了招聘銷售人員的廣告。
《星報》薪酬：每週如銷售240份以內，每份付酬0.2元，超過240份的部分每份酬勞0.4元。
《日報》薪酬：每週固定工資60元，外加每售出一份報紙得0.05元。
第1題：弗萊德瑞克每週銷售350份《星報》，他的平均周收入是多少？
第2題：克莉絲汀銷售《日報》，某周得到74元。她在該周售出多少份報紙？
第3題：約翰決定去賣報紙，他需要在《星報》與《日報》之間做出選擇。下列四圖中哪一幅圖正確表示了兩份報紙的薪酬？
看完這組例題，各位家長有何感想？這不是當年PISA測試中最難的一題，也不是最簡單的一題。不過，對於9年級的中國學生來說，這是不是有點簡單得不像話？
來看一下PISA官方的說明。在一份2018年測試結果分析文檔的前言中，PISA指出測試題目的設計重在解決實際問題，而不是重複課堂上學過的知識、概念。換句話說，數學測試的重點不是題目的難度，不是解題技巧的繁複，而是考查學生能否用數學概念來分析日常生活中的問題。
具體到這組賣報紙的題目，用到的數學知識無非加減乘除以及一點粗淺的平面座標，但是這並非PISA出題的依據，真正的考點在於如何把報紙上的招聘廣告翻譯成數學語言。
對於任何學生來說，只要經過了足夠多應用題的演練，這道題沒有什麼難度。而那些做不出這道題正確答案的9年級學生，我相信題目背後的數學算式是難不倒他們的，他們所缺乏的是做應用題的本事，或者說他們既沒有在課堂上得到足夠的練習也沒有在日常生活中養成使用數學方法思考問題的習慣。
就解決問題的能力而言，PISA報告有44%的中國學生達到了5級的數學水平，也就是可以將複雜的生活場景翻譯成數學模型並能選擇合適的數學方法來解決問題。而在加拿大隻有15%的學生達到這一水平。加拿大數學基礎教育的問題顯而易見。
反過來說，中國基礎教育的問題在哪裏呢？PISA測試的權威性是得到包括中國在內的世界各國承認的，而且其宗旨是考查學生解決實際問題的能力。如果說賣報紙這樣的題目代表了經合組織所認爲的學生應該具備的解決實際問題所需的數學知識，那麼國內中小學教育中反覆練習的高難度高技巧的題目意義何在？
在如今“雙減”的大背景之下反思PISA爲什麼出這樣“低難度”的題目，再結合普通人的日常工作和生活想想我們在校園以外遇到過多少比賣報紙更爲複雜的數學問題，不難發現，中國基礎教育中的反覆操練彷彿只是爲選拔而選拔，爲增加難度而增加難度，從某種意義上講也許是對社會資源和學生學習階段寶貴時間的浪費。
3. 加法的8種做法
如果說PISA樣題給了我們一些啓示的話，我想中加兩國不同的數學教育模式是可以相互取長補短的。對加拿大的華人家長來說，我們無疑擁有先天優勢的資源，可以借鑑中國中小學教學中多練習多拓展的理念，彌補加拿大課堂數學練習的不足。對於國內“雙減”時代的家長，加拿大的數學理念可以作爲一個有益的參考，幫助我們思考不再補課之後、不再完全以應試擇優爲目的的數學學習應該往何處去。
不妨看看我女兒二年級的數學課堂練習——8+9和10+11。只看這兩道題目實在很容易讓人從心底生出一些不良情緒：二年級還在做這麼簡單的加法，而且這兩道題不是三十道、五十道口算家庭作業的一部分，反而是一整節數學課的內容，怎麼不讓人惱火？
可是細看之下我發現這樣的教學安排並非毫無可取之處，因爲其理念強調的不是熟能生巧式的機械記憶，而是重在傳遞數學思維和介紹實用方法。
這兩道簡單的加法，老師要求用8種不同的方法來做。
第一種方法估計要讓人笑掉大牙——掰手指。雖然淺顯，但從具象到抽象建立數的概念掰手指是一個重要的過程。二年級的孩子顯然已經不需要依靠數數的辦法來做加法了，但老師卻並不把這種最原始的方法任意拋棄，也許是想加強對數的概念的理解吧。
第二、三兩種方法稱爲“雙倍加”和“雙倍減”，二者其實是一回事。雙倍這個概念從幼兒園到小學已經學習過多次，在雙倍的基礎上增減就可以快速做出很多不同數字組合的加法。比如現在要做的8+9。學生已經非常熟悉8+8=16，9+9=18，那麼做8+9時就可以分解爲(8+8)+1或(9+9)-1。
第四種是心算，其實不能稱爲一種方法，只是對二年級學生計算能力的一個要求。
第五種方法很有意思，引入了數軸的概念。比如下圖所示，計算5+4時先在一根直線上畫上5個距離相等的點，代表5，然後往右數4個點，代表+4。雖然這個方法跟掰手指數數十分類似，但數字概念的圖像化是數學思維方式的一個組成部分。
用這種方法不但可以做加法還可以很輕鬆地做減法，只要把數數的方向由從左向右變爲從右向左就可以了。一旦建立起數軸和方向的概念，進一步就可以很容易地拓展成座標的概念，可以很直觀地引入負數的概念。
在我們的理念當中，學習需要循序漸進，我們腦子裏有一些固有的思維定勢，哪些概念屬於基礎的、簡單的，哪些屬於高深的、複雜，因此在我們所習慣的教學進度表中，掰手指和數軸一般不會出現在同一堂課上。
而加拿大的理念似乎有些不同，他們既不介意把相對較難的概念用淺顯的語言較早地介紹給學生，讓他們由淺入深反覆練習如何使用這些方法，也不認爲重複以前學習過的最基礎的方法是浪費時間。
第六種方法類似於掰手指，不過把手指換成了積木、玻璃珠之類的具體物體。
第七種方法是紅白算珠，這種方法跟中國的算盤有類似之處，都可以用多行算珠來進行多位數的計算。
第八種方法就是我們在統計時常用的劃“正”字的方法，一個“正”字正好五劃，兩個“正”字就是10。英文中當然沒有“正”字，用短劃線來代替。
4. “探索式數學”
一個簡單的加法爲什麼要用這麼多不同的方法來做？只要記住加法的一般規律、反覆練習不就行了嗎？加拿大這種教學方法的背後是一種叫做“探索式數學”的教學理念。
“探索式數學”作爲一種新的教學方法自1980年代開始逐漸進入加拿大中小學，安省2005年的教學大綱已經全面採用了這種方法。自從這種教學方法普及開來，加拿大學生的數學成績也出現了下行的趨勢。單從時間軸上的相關性來看，很容易把數學成績的下降歸罪於“探索式數學”，這也是加拿大政界、教育界一直爭論不休的一個話題。但二者之間是不是真的有因果關係呢？
首先需要了解一下究竟什麼是“探索式數學”。與之相對的是我們熟悉的“傳統式數學”，在教學過程中首先介紹一個數學概念，引入一個公式、定理，學生學習之後套用公式反覆演算，最後能夠牢固掌握基礎知識點。而“探索式數學”則相反，它首先拋給學生一個全新的問題，引導學生自己想辦法解決這個問題，在學生思考的過程中老師再逐步把既有的數學概念和知識介紹給學生。
換句話說，“傳統式數學”是先學公式再練習用公式解決問題，而“探索式數學”是先嚐試解決問題再在解決未知問題的探索性思維過程中學習公式。
一位在加拿大攻讀教師學院準備在加拿大當中小學老師的華人留學生在一篇網文中記錄了她觀摩的一堂三年級數學課。課堂上老師讓孩子們自己討論奇數偶數的問題。一個男孩認爲6既是奇數又是偶數。他到黑板上畫了6個圈，然後把它們兩個一組分成3組。他說：6可以兩兩分組，所以是偶數，但是我把它們分成了3組，3是奇數，所以6既是奇數又是偶數。
班上同學都不同意他的看法，幾個學生紛紛上臺用各自不同的角度、方法向這名同學解釋爲什麼他們不同意6是奇數，但都沒能說服這位“有思想”的男孩。最後，一名女同學在黑板上模仿那名男孩的做法畫了10個圈，再把它們兩兩分組得到5組，她問男孩：5也是奇數，10個圈可以兩兩分成5組，那你能說10也是奇數嗎？這招“以子之矛攻子之盾”奏效了，男孩摸着頭笑了。
這就是一名在“傳統式數學”環境中成長起來的中國留學生對於加拿大“探索式數學”教學方法的觀察。這位教師學院留學生最後引用了她老師的話來總結她對這種教學方法的理解：“我們必須記住，我們的學生比我們聰明，我們必須明白他們聰明在哪些地方，必須讓他們的聰明表現出來。我們不能只講知識只做題，我們必須要明白每個孩子是怎麼想的。”
在加拿大各界的論戰中，對“探索式數學”的詬病主要集中在基礎數學知識不夠紮實，強調對思維過程的引導固然重要，但卻在一定程度上減弱了對基礎數學知識、公式定理的記憶。
從2020年開始，安省修訂了數學教學大綱，把對乘法表等基礎數學知識的記憶重新加入到教學要求中。許多人認爲這標誌着“探索式數學”的失敗，中小學教學要回歸“傳統”。其實，仔細閱讀新版教學大綱就會發現“探索式數學”的那些理念並沒有消失，只是把“傳統式數學”中的某些合理內容囊括了進去。這樣的變革並不是簡單的拋棄和迴歸，更像是一次糾偏，或者說是一次取長補短——對兩種教學方法的優點兼容幷包。
對於國內的老師和家長來說，“探索式數學”的理念幾乎是全新的，但這種方法所追求的目標我們卻並不陌生，那就是重視獨立思維的訓練，重視創新能力的培養。如果“雙減”能讓我們的教育加速步入培養能力的軌道，加拿大的這種教學方法頗有值得借鑑之處。
5. 分數之外
除了能力的培養，教育更重要的目標是人格的培養，是對個人天性的解放和扶植，是幫助學生找到人生的方向。數學教育在這個維度上的得失也值得我們思考。
PISA對學生的評估除了閱讀、數學、科學成績的測試之外還有對於校園環境、學生生活、職業興趣等“軟實力”的分析。
首先，PISA對於教育中性別平等的問題給予了特別的關注。在2018年參與PISA評測的所有國家和地區中，男孩的數學成績比女孩平均高出5分。加拿大的男女生分數差跟平均水平一致，而中國男生則要比女生高出11分。不知道這是不是國內數學教育過於偏重技巧造成的結果。
另一個有意思的現象是學生對未來職業發展的考慮。在加拿大，數學和科學成績好的學生當中，1/3的男孩希望自己在30歲時從事工程或科技工作，而中國只有1/7男孩願意。兩國的女孩在這方面差距倒是不大：加拿大爲1/7數學而中國爲1/10。具有科學家和工程師潛質的孩子裏面有那麼多人不願意從事科學工作，這是否也從一個側面說明教育中存在的問題呢？
至於個人未來的發展，PISA在測試的問卷調查部分有一個問題是專門評估學生“成長思維”的。“你的智力是你無法改變的東西”，否認這個陳述代表學生具有一定的“成長思維”，因爲他們認爲可以通過自己的努力使自己的能力得到發展。在加拿大，68%的學生具有這樣的“成長思維”，而中國只有56%。
教育不只是爲了得高分，不只是爲了“選拔人才”，教育更重要的目的是讓每個個體都能擁有充分發展自己潛力的機會。那麼，將近一半的中國學生看不到自己成長和發展的希望，這是不是也是我們教育的一個大問題呢？
如果回到培養人、激發人的潛力這一教育的根本目的，從這個角度來考察加拿大的中小學數學教育，給學生足夠的時間去分析討論那些我們認爲無需討論的簡單問題、給學生學習的自由讓他們按照自己的節奏去學習探索和發現這個世界的方法，這對“雙減”時代的中國老師和家長也是有借鑑意義的吧。