看動畫學算法之:二叉搜索樹BST 簡介 BST的基本性質 BST的構建 BST的搜索 BST的插入 BST的刪除

簡介

樹是類似於鏈表的數據結構，和鏈表的線性結構不同的是，樹是具有層次結構的非線性的數據結構。

樹是由很多個節點組成的，每個節點可以指向很多個節點。

如果一個樹中的每個節點都只有0，1，2個子節點的話，這顆樹就被稱爲二叉樹，如果我們對二叉樹進行一定的排序。

比如，對於二叉樹中的每個節點，如果左子樹節點的元素都小於根節點，而右子樹的節點的元素都大於根節點，那麼這樣的樹被叫做二叉搜索樹（Binary Search Tree）簡稱BST。

今天我們來探討一下BST的性質和對BST的基本操作。

BST的基本性質

剛剛我們已經講過BST的基本特徵了，現在我們再來總結一下：

1. BST中任意節點的左子樹一定要比該節點的值要小
2. BST中任意節點的右子樹一定要比該節點的值要大
3. BST中任意節點的左右子樹一定要是一個BST。

看一張圖直觀的感受一下BST：

BST的構建

怎麼用代碼來構建一個BST呢？

首先，BST是由一個一個的節點Node組成的，Node節點除了保存節點的數據之外，還需要指向左右兩個子節點，這樣我們的BST完全可以由Node連接而成。

另外我們還需要一個root節點來表示BST的根節點。

相應的代碼如下：

public class BinarySearchTree {

    //根節點
    Node root;

    class Node {
        int data;
        Node left;
        Node right;

        public Node(int data) {
            this.data = data;
            left = right = null;
        }
    }
}

BST的搜索

先看下BST的搜索，如果是上面的BST，我們想搜索32這個節點應該是什麼樣的步驟呢？

先上圖：

搜索的基本步驟是：

1. 從根節點41出發，比較根節點和搜索值的大小
2. 如果搜索值小於節點值，那麼遞歸搜索左側樹
3. 如果搜索值大於節點值，那麼遞歸搜索右側樹
4. 如果節點匹配，則直接返回即可。

相應的java代碼如下：

//搜索方法，默認從根節點搜索
    public Node search(int data){
        return search(root,data);
    }

    //遞歸搜索節點
    private Node search(Node node, int data)
    {
        // 如果節點匹配，則返回節點
        if (node==null || node.data==data)
            return node;

        // 節點數據大於要搜索的數據，則繼續搜索左邊節點
        if (node.data > data)
            return search(node.left, data);

        // 如果節點數據小於要搜素的數據，則繼續搜索右邊節點
        return search(node.right, data);
    }

BST的插入

搜索講完了，我們再講BST的插入。

先看一個動畫：

上的例子中，我們向BST中插入兩個節點30和55。

插入的邏輯是這樣的：

1. 從根節點出發，比較節點數據和要插入的數據
2. 如果要插入的數據小於節點數據，則遞歸左子樹插入
3. 如果要插入的數據大於節點數據，則遞歸右子樹插入
4. 如果根節點爲空，則插入當前數據作爲根節點

相應的java代碼如下：

// 插入新節點，從根節點開始插入
    public void insert(int data) {
        root = insert(root, data);
    }

    //遞歸插入新節點
    private Node insert(Node node, int data) {

        //如果節點爲空，則創建新的節點
        if (node == null) {
            node = new Node(data);
            return node;
        }

        //節點不爲空，則進行比較，從而遞歸進行左側插入或者右側插入
        if (data < node.data)
            node.left = insert(node.left, data);
        else if (data > node.data)
            node.right = insert(node.right, data);

        //返回插入後的節點
        return node;
    }

BST的刪除

BST的刪除要比插入複雜一點，因爲插入總是插入到葉子節點，而刪除可能刪除的是非葉子節點。

我們先看一個刪除葉子節點的例子：

上面的例子中，我們刪除了30和55這兩個節點。

可以看到，刪除葉子節點是相對簡單的，找到之後刪除即可。

我們再來看一個比較複雜的例子，比如我們要刪除65這個節點：

可以看到需要找到65這個節點的右子樹中最小的那個，替換掉65這個節點即可（當然也可以找到左子樹中最大的那個）。

所以刪除邏輯是這樣的：

1. 從根節點開始，比較要刪除節點和根節點的大小
2. 如果要刪除節點比根節點小，則遞歸刪除左子樹
3. 如果要刪除節點比根節點大，則遞歸刪除右子樹
4. 如果節點匹配，又有兩種情況
5. 如果是單邊節點，直接返回節點的另外一邊
6. 如果是雙邊節點，則先找出右邊最小的值，作爲根節點，然後將刪除最小值過後的右邊的節點，作爲根節點的右節點

看下代碼的實現：

 // 刪除新節點，從根節點開始刪除
    void delete(int data)
    {
        root = delete(root, data);
    }

    //遞歸刪除節點
    Node delete(Node node, int data)
    {
        //如果節點爲空，直接返回
        if (node == null)  return node;

        //遍歷左右兩邊的節點
        if (data < node.data)
            node.left = delete(node.left, data);
        else if (data > root.data)
            node.right = delete(node.right, data);

        //如果節點匹配
        else
        {
            //如果是單邊節點，直接返回其下面的節點
            if (node.left == null)
                return node.right;
            else if (node.right == null)
                return node.left;

            //如果是雙邊節點，則先找出右邊最小的值，作爲根節點，然後將刪除最小值過後的右邊的節點，作爲根節點的右節點
            node.data = minValue(node.right);

            // 從右邊刪除最小的節點
            node.right = delete(node.right, node.data);
        }
        return node;
    }

這裏我們使用遞歸來實現的刪除雙邊節點，大家可以考慮一下有沒有其他的方式來刪除呢？

本文的代碼地址：

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