圓方樹
圓方樹是處理帶環圖的利器，它可以把原圖轉化成一個樹的形態，所以很多樹的性質都可以在其上加以利用。
圓方樹實際上有兩種。一種是仙人掌上圓方樹，另一種是廣義圓方樹。
蒯圖預警：接下來引用的圖片全部來自網絡，除了csacademy的圖，沒有一張不是蒯的（不蒯圖會死.jpg）。感謝各位被動提供照片的神仙。
仙人掌上圓方樹
首先定義仙人掌：任意一條邊只會出現在一個環裏面的無向連通圖。Like this:
圓點就是原圖上的點。
在一個仙人掌上，圓方樹的構造方法是：
- 如果一條邊在仙人掌中不屬於任何一個環，那麼就直接將圓方樹上對應兩圓點相連。
- 而對於每一個點雙連通分量（也就是環），我們都構建出一個方點，將環上的點都向方點連一條邊。這樣每一個方點對應原圖中的一個環。
Like this:
<img src="https://i.loli.net/2019/12/20/XEiJIlasgpTLrQK.png" alt="a" style="zoom: 67%;" />
可以證明這樣構造出來的新圖一定是一棵樹（引用自WC2017 immortalCO課件）：
<img src="https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/fruitea/1617073/o_1912191349362019-12-19%2021-48-00%20%E7%9A%84%E5%B1%8F%E5%B9%95%E6%88%AA%E5%9B%BE.png" alt="a" style="zoom:67%;" />
仙人掌上圓方樹的構造
直接套用Tarjan找點雙的方法實現。在這裏，兩個點一條邊的情況並不看作點雙，特殊考慮一下子。
inline void Tarjan(int nw,int pa=0){
dfn[nw]=low[nw]=++dfc;stk[++tp]=nw;
for(int to:r_E[nw])
if(to^pa){
if(!dfn[to]){
Tarjan(to,nw);
low[nw]=min(low[nw],low[to]);
if(dfn[nw]<=low[to]){
if(stk[tp]==to)E[nw].pb(to),E[to].pb(nw),--tp;//only two vertices
else{
++cnt;
for(int x=0;x^to;--tp){
x=stk[tp];
E[cnt].pb(x),E[x].pb(cnt);
}
E[cnt].pb(nw),E[nw].pb(cnt);
}
}
}
else low[nw]=min(low[nw],dfn[to]);
}
}
一些性質
-
方點不和方點直接連接。
-
圓方樹是無根樹，不管取哪個點爲根，構造出來的圓方樹形態一樣。
-
首先定義：以 r 爲根的仙人掌上的點 p 的子仙人掌是從仙人掌中去掉 p 到 r 的簡單 路徑上的所有邊之後,p 所在的連通塊。
那麼：以 r 爲根的仙人掌中點 p 的子仙人掌就是圓方樹以 r 爲根時點 p 的 子樹中的所有圓點。
廣義圓方樹
廣義圓方樹與仙人掌圓方樹不同之處在於，認爲兩個點一條邊的情況也是點雙。
廣義圓方樹構造 Like this:
我們可以發現：現在圓方樹上圓點只和方點相連，方點只和圓點相連。
值得注意的是：因爲一般圖不像仙人掌（一條邊只在至多一個簡單環中），所以它有可能是這樣
而他的點雙只有這個（模擬一下Tarjan的過程就可以知道）
所以構造出的圓方樹長這樣：
可以看到，原圖中的（1,3）的邊在圓方樹中已經消失不見。所以除了像仙人掌那種一條邊在至多一個環內的圖外，一般圖構造出的圓方樹邊的信息會有丟失。
廣義圓方樹的構造
一句話的區別。將兩個點一條邊的情況也看作點雙。
inline void Tarjan(int nw,int pa=0){
dfn[nw]=low[nw]=++dfc;stk[++tp]=nw;
for(int to:r_E[nw])
if(to^pa){
if(!dfn[to]){
Tarjan(to,nw);
low[nw]=min(low[nw],low[to]);
if(dfn[nw]<=low[to]){
++cnt;
for(int x=0;x^to;--tp){
x=stk[tp];
E[cnt].pb(x),E[x].pb(cnt);
}
E[cnt].pb(nw),E[nw].pb(cnt);
}
}
else low[nw]=min(low[nw],dfn[to]);
}
}
例題
「APIO2018」鐵人兩項
Solution
固定$s$和$f$，那麼合法的$c$的數量就是$s$，$f$之間簡單路徑的點集的並集減2（減掉$s$,$f$本身）。
手玩一下可以發現一個結論：兩圓點在圓方樹上的路徑的圓點點集，加上與路徑上的方點相鄰的圓點點集，就等於原圖中兩點所有簡單路徑的點集。
圓方樹有一個技巧：路徑統計時，給點附上恰當的權值。
例如這道題，給方點附上其對應點雙大小，給圓點附上-1。
那麼兩圓點間路徑的點權和就是圓點個數。因爲方點貢獻就是他的點雙大小，而每個割點被重複統計多次，減去就好。
直接算還是不好算，可以考慮每個點對答案貢獻：就是經過他的路徑個數。樹形dp即可。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read(){//be careful for long long!
register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^'0');ch=getchar();}
return f?x:-x;
}
const int N=1e5+10;
int n,m,stk[N],tp,dfn[N],low[N],dfc,cnt,val[N<<1],siz[N<<1],num;
vector<int> G[N],E[N<<1];
ll ans;
inline void Tarjan(int nw){
dfn[nw]=low[nw]=++dfc;stk[++tp]=nw;++num;
for(int to:G[nw]){
if(!dfn[to]){
Tarjan(to);
low[nw]=min(low[nw],low[to]);
if(dfn[nw]==low[to]){
++cnt;
for(int x=0;x!=to;--tp){
x=stk[tp];++val[cnt];
E[cnt].push_back(x),E[x].push_back(cnt);
}
++val[cnt];
E[cnt].push_back(nw),E[nw].push_back(cnt);
}
}
else low[nw]=min(low[nw],dfn[to]);
}
}
inline void Dfs(int nw,int fa=0){
siz[nw]=(nw<=n);
for(int to:E[nw])
if(to^fa){
Dfs(to,nw);
ans+=2ll*val[nw]*siz[nw]*siz[to];
siz[nw]+=siz[to];
}
ans+=2ll*val[nw]*siz[nw]*(num-siz[nw]);
}
int main(){
n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;++i)val[i]=-1;
for(int i=1;i<=m;++i){
int u=read(),v=read();
G[u].push_back(v),G[v].push_back(u);
}
cnt=n;
for(int i=1;i<n;++i)
if(!dfn[i]){
tp=num=0,Tarjan(i);
Dfs(i);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
CF1276B Two Fairs
Solution
把圓方樹建出來，然後就顯然了。直接將a，b兩側的子樹內節點數相乘即可。
考慮兩種情況：
- a，b沒有祖孫關係。這一種ans就是$(siz[a]-1)\times (siz[b]-1)$。
- a，b有祖孫關係。不失一般性地假設a是b的祖先。這是a一側的子樹不再是$siz[a]-1$，應該是a子樹以外的部分。設b往上走一直走到a兒子處的方點爲s，ans就是$(n-siz[s]-1)*(siz[b]-1)$。注意是a往下的第一個方點而不是圓點，這是我一開始沒考慮清楚的地方。方點代表的點雙上，不是a的點，都可以不經過a就到達b側子樹內。他們是不應計算進答案的。
tips: $siz[]$指的是子樹內圓點個數。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read(){//be careful for long long!
register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^'0');ch=getchar();}
return f?x:-x;
}
const int N=2e5+10,M=5e5+10;
int n,m,a,b,stk[N],tp,cnt,dfn[N],low[N],dfc,siz[N<<1],vis[N<<1],fa[N<<1];
vector<int> r_E[N],E[N<<1];
#define pb(x) push_back(x)
inline void Tarjan(int nw,int pa=0){
dfn[nw]=low[nw]=++dfc;stk[++tp]=nw;
for(int to:r_E[nw])
if(to^pa){
if(!dfn[to]){
Tarjan(to);
low[nw]=min(low[nw],low[to]);
if(dfn[nw]<=low[to]){
++cnt;
for(int x=0;x^to;--tp){
x=stk[tp];
E[cnt].pb(x),E[x].pb(cnt);
}
E[cnt].pb(nw),E[nw].pb(cnt);
}
}
else low[nw]=min(low[nw],dfn[to]);
}
}
inline void Dfs(int nw,int pa,int type){
vis[nw]=type;siz[nw]=(nw<=n);fa[nw]=pa;
if(nw==a)type=1;else if(nw==b)type=2;
for(int to:E[nw])
if(to^pa){
Dfs(to,nw,type);
siz[nw]+=siz[to];
}
}
int main(){
int T=read();
for(int t=1;t<=T;++t){
cnt=n=read(),m=read();a=read(),b=read();
for(int i=1;i<=n;++i)r_E[i].clear();
for(int i=1,tim=(n<<1);i<=tim;++i)E[i].clear();
for(int i=1;i<=m;++i){
int u=read(),v=read();
r_E[u].pb(v),r_E[v].pb(u);
}
memset(dfn,0,sizeof(int)*(n+1));
dfc=tp=0;Tarjan(1);
Dfs(1,0,0);
if(vis[a]==2){
int s=a;while(fa[s]!=b)s=fa[s];
printf("%lld\n",1ll*(siz[a]-1)*(n-siz[s]-1));
}
else if(vis[b]==1){
int s=b;while(fa[s]!=a)s=fa[s];
printf("%lld\n",1ll*(siz[b]-1)*(n-siz[s]-1));
}
else printf("%lld\n",1ll*(siz[a]-1)*(siz[b]-1));
}
return 0;
}