TSP的一個確定性多項式時間近似算法（環覆蓋，圖匹配，最小生成樹，概率統計分析）

問題描述

給定一個圖，求出一個不重複遍歷所有點的環路，使環路的邊權之和最小

TSP（旅行商問題）是一個著名的NP-Hard問題，無法在任意情況下使用多項式時間算法精確求解

根據給定圖的性質，我們可以對問題做一些細分類

• 圖是有向圖還是無向圖

• 圖是否爲完全圖（實際上，非完全圖可以通過將不存在邊的邊權視爲INF，轉化爲完全圖）

• 圖的邊權是否滿足度量性質（metric）
  或稱是否滿足三角不等式，\(\forall x, d(u,v)\le d(u,x)+d(x,v)\)
  TSP在實際應用背景下，許多情況都滿足此性質
  比如點在幾何空間中，所有邊權爲兩點距離
  又比如點在地圖上，所有邊權爲兩點之間最短路（儘管路徑上可能有別的點）

  • 研究指出，對於metric情況，存在常數級多項式時間近似算法（即該算法所求結果與最優解比值小於某個常數）
    比如求出圖的最小生成樹，將其的一個dfs序作爲環，可以證明得到近似比小於\(2\)的解
    比如Christofides算法的近似比爲\(\frac32\)
  • 研究也指出，對於non-metric情況，不存在普遍的常數級多項式時間近似算法

算法概述

通過求解圖的最小環覆蓋，再將所有環以一定的方式合併成一個環，即得到一個解

最小環覆蓋（vertex cycle cover）

在給定圖中，選出任意個環路，使它們互不相交且正好覆蓋所有點，最小化邊權總和

顯然對於同一個圖，最小環覆蓋的答案一定不大於TSP問題的答案，因爲TSP所求的一個環路也是合法的環覆蓋

那麼最終的近似程度就很大程度取決於合併所有環帶來的代價

至於如何求解，我們對有向圖和無向圖分別討論

有向圖

每個點都恰好有一條出邊和一條入邊，這是構成不相交環的充要條件

於是問題轉化爲二分圖最小權完美匹配問題

二分圖兩邊各\(n\)個點，對於原圖中的每條邊\((u,v,w)\)，在二分圖中把左邊的\(u\)和右邊的\(v\)連起來

使用KM算法，複雜度\(O(n^3)\)

無向圖

不好套用有向圖的做法，因爲允許了\(u\to v\to u\)這樣的二元環存在

主要後果並不是違反了無向圖環的定義，而是大大提高了合併環的代價

試想一個圖中的那些權值特別小的邊，很傾向於形成二元環，那麼最終最小環覆蓋環的個數就會爆炸

怎麼辦呢？來點概念

• d-regular, spanning subgraphs (d-factors)
  正則生成子圖，指的是某圖的一個包含原圖所有點的子圖，滿足每個點的度數均爲\(d\)
  比如完美匹配等價於1-factor，環覆蓋等價於2-factor

• Tutte's Reduction
  由Tutte提出，將d-factor求解轉化爲圖匹配求解
  對於原圖每個點\(u\)，新建點\(u_1,...,u_d\)
  對於原圖每條邊\(e:(u,v,w)\)，新建點\(e_u,e_v\)，新建邊\((e_u,e_v,w)\)
  並且\(\forall i\in[1,d]\)，新建邊\((u_i,e_u,0),(v_i,e_v,0)\)
  求出該圖的最大權完美匹配
  對於新圖的\((e_u,e_v,w)\)型邊，它在匹配邊中當且僅當對應原圖邊\(e\)未被選入最小環覆蓋
  對於新圖的\((u_i,e_u,0)\)型邊，它在匹配邊中當且僅當對應原圖邊\(e\)被選入最小環覆蓋

爲什麼這樣是對的呢？顯然新圖存在完美匹配，那麼既然新圖的\(u_i,e_u\)已經匹配，\(e_v\)就肯定會和\(v_j\)匹配，不會自相矛盾

那麼最大化匹配邊的權值和，就是最小化d-factor的權值和

例如對於三個點的最小環覆蓋，建新圖

顯然完美匹配中\((e_u,e_v,w)\)型邊一個都不能選，原圖也只有唯一環覆蓋

可是這是個一般圖呀，最大權完美匹配怎麼做？

OI中相對普及的是二分圖最大權完美匹配的KM算法、一般圖最大匹配的帶花樹算法

一般圖最大權完美匹配算法（Maximum Weight Perfect Matching）由Edmonds提出，實際上就是上述兩種思想的結合

但其理解和實現的難度就不是兩個算法的簡單相加了TAT

需要學習的大佬可以參考洛谷P6699 【模板】一般圖最大權匹配，UOJ#81. 一般圖最大權匹配

注意最大權匹配和最大權完美匹配是不一樣的

目前普遍的\(O(n^3)\)實現方法，代碼量基本都是7k左右

廣爲流傳的Min_25大佬的\(O(nm\log n)\)實現，代碼量已經到了20多k！！！

對於最小環覆蓋，兩種實現的複雜度分別爲\(O(m^3),O(m^2\log n)\)（\(n,m\)爲原圖點數，邊數）

環的合併

每次挑兩個環出來，枚舉斷開的位置和接的方向，合成一個環

至於挑環的順序，又可以搞好多方法出來

大環優先法

蒟蒻的想法，每次把次大的環往最大的環上合

這樣做是爲了讓最小的環能在其合併時枚舉到儘可能多連接的方式（小環長度×大環長度×2）

假如兩個小環合併，連接方式很少，最優方式的代價期望就會提大大高

類MST kruscal法

也是蒟蒻的想法，每次選擇所有環對中的一個最優方式進行合併

我們把環看成一個超級點，把合併看成兩個超級點連邊，就類比到了MST上

這是靠幾何直覺大致表明這種方法在metric情況下makes sense

而且這樣做也大概率比大環優先法優秀，這個貪心只是忽略了先合併的環有兩條邊被刪掉的輕微後效性

逐次縮環法

論文算法（Cycle Shrinking Algorithm），但是需要允許構造經過某些點多次的路徑，適合貼近現實的metric情況

每次求出最小環覆蓋後，若環數爲1，停止

否則從每個環中選擇一個代表點，構造新圖，新圖中兩點之間邊權爲原圖中兩點最短路

再求新圖的最小環覆蓋，如此循環

因爲每次建新圖，點數比原來至少少一半，所以最多執行\(O(\log n)\)次最小環覆蓋

又因爲每次最小環覆蓋長度不超過TSP的答案，所以該算法被證明有\(O(\log n)\)的近似比

部分情況下該算法的近似程度分析以及改進探討

有向完全圖，所有邊權隨機

這裏每一條邊都是i.i.d.的連續型隨機變量

運行算法，我們得到一個匹配，可以視爲一個全錯位的置換\(\pi\)，左邊點\(u\)匹配到右邊點\(\pi(u)\)

我們關心環的個數的期望，也就是\(\pi\)中循環的個數的期望

有一個結論：得到所有合法置換的概率是相等的，因爲所有邊是i.i.d.的，得到任意兩個置換的概率都可以通過點、邊的映射相互轉化，用對稱性證明它們相等

因此我們直接求等概率隨機一個長度爲\(n\)全錯位排列的循環個數期望\(L_n\)

• A008306：\(T(n,k)\)爲\(n\)元素劃分成\(k\)個長度至少爲\(2\)的圓排列的方案數，又稱連帶第一類Stirling數
• A000166：\(D_n\)爲全錯位排列數
• A162973：\(\sum_{k=1}^{n/2}kT(n,k)\)

\[P(L_n=k)=\frac{T(n,k)}{D_n} \]

\[E(L_n)=\frac{\sum_{k=1}^{n/2}kT(n,k)}{D_n}\sim \ln n+\gamma-1 \]

它是\(\log n\)級別的！也就是說，合併環所帶來的長度增加是非常有限的，近似解和最優解的絕對誤差大概率在一個合理的範圍內

無向完全圖，所有邊權隨機

A038205：\(n\)元素劃分成個長度至少爲\(3\)的圓排列的方案數

然並卵，不能像有向圖中那樣用對稱性了，只能說明同構的環覆蓋概率相等，於是蒟蒻不會算期望了/kk

不過既然環長至少爲\(3\)了，那麼環數期望肯定不超過有向圖的情況\(O(\log n)\)

通過重複隨機採樣，能說明

• 得到更大環長、更少環數的環覆蓋的概率更高
• 環數期望似乎與概率分佈也有關？

算法變種

我們另一個關心的是\(O(m^2\log n)\)的複雜度，在跑上百個點的完全圖的時候就開始喫力了

不過既然不是確定出正解的算法了，想怎麼亂來都行，能降一點複雜度，快點跑出來就好

通過觀察，我們發現，實際上在點很多、圖很密集的情況下，那些邊權稍微大一點的邊都基本上用不上了

假如我們知道最大的能被用上的邊的邊權\(W\)，我們只留下邊權不超過\(W\)的邊（條數爲\(c\)）建新圖跑MWPM，新圖的點數和邊數就會減少到\(O(n+c)\)

比如，\(n=100,d(u,v)\sim\operatorname{Unif(0,1)}\)時，把大於\(0.1\)的邊都刪掉，能變快將近一百倍

• 蒟蒻找到了論文中的一個定理，給了這個胡搞一定的理論依據

  假設常數\(K>16,p\ge\frac{K\log n}{n}\)，那麼在\(n\)個點的完全圖中讓每條邊以概率\(p\)出現，\(1-p\)不出現，
  這個圖存在Hamilton迴路是高概率事件（\(n\to\infty,P(·)\to1\))

  那也就是說，我們需要在原圖留下\(\Omega(n\log n)\)的邊來保障我們高概率找到一個環覆蓋
  基於這個依據還需要一個猜測，那就是加入邊權更大的邊對最小環覆蓋的改善很微小
  假設這些都是對的，那令\(c=O(n\log n)\)，我們用\(O((n+c)^2\log n)=O(n^2\log^3 n)\)的時間能高概率找到一個很小的環覆蓋

關鍵是不知道\(W\)是多少

一種方法是自己生成幾組數據多試試，再把\(W\)定下來

另一種方法是交給算法把它試出來，採用倍增試探法

1. 令\(c=n\)
2. 留下前\(c\)小的邊，建新圖跑一般圖完美匹配（甚至能上隨機算法，跑得快並且大概率對就行）
3. 如果成功找到完美匹配，令\(W=\)第\(c\)小邊的邊權，結束；否則\(c=2c\)，轉步驟2.

無向圖，metric，二維平面點

這裏僅與Christofides算法作對比

通過重複隨機採樣（在矩形區域中隨機選擇整數點），該算法有80%的概率優於Christofides算法

以下的兩個例子，能夠很好的說明問題

例子一

Christofides更優秀，該算法形成的解被已形成的幾個小環大大限制住了，陷入了局部最優

目測來看，可以基於對解進行點交換、部分環交換等局部調整的方法，應用貪心或者模擬退火的算法，將當前情況大大改善

另一方面，找到更可靠的環合併算法也是非常有希望的研究方向

例子二

該算法更優秀，Christofides的解出現了許多交叉的地方

這是因爲最小環覆蓋在二維平面下的性質：不存在兩個環相交

比如這種情況，顯然把兩個交叉的地方打開，重新分配環\((a_1,b_2,b_3,a_4),(b_1,a_2,a_3,b_4)\)一定更優

然而合併環後仍有極小概率出現交叉，問題還是陷入局部最優，比如下面，左邊是該算法，右邊是真正最優解

解決最終解交叉的方法，就是直接枚舉檢查每兩條邊是否相交，相交了就打開，一定有一種調整方式使得調整後仍然是Hamilton迴路

這樣一來Christofides的解也能大大改善，也就不能說該算法大概率比Christofides好了

總結

該算法非常適合non-metric，邊權獨立隨機，圖點數中等的情況

該算法在metric情況下適用性不高，因爲解的近似性不如Christofides穩定，時間複雜度高（Christofides爲\(O(n^3)\)）

這也是在意料之中的，因爲metric情況下，形成局部小環的概率提高，環數期望增加，也沒有完全利用三角不等式的性質