參考資料依然是二潘和閔嗣鶴嚴士健的初等數論.
上一篇實在是太簡單了. 接下來我們將要進入最大公因數理論.
1. 最大公因數和最小公倍數
首先我們需要明確公因數的定義.
設有 \(a_1,\cdots,a_n\), 若 \(d|a_1,\cdots,d|a_n\), 稱 \(d\) 爲 \(a_1,\cdots,a_n\) 的公因數.
我們記這些公因數組成的集合爲 \(\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)\).
自然地, 我們定義這些數的公因數中最大的一個爲最大公因數, 記作 \((a_1,\cdots,a_n)\).
特別地, 若 \((a_1,\cdots,a_n)=1\), 稱這些數互素.
根據定義,有 \((a_1,\cdots,a_n)=\max(d:d\in\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n))\).
下面我們給出一些簡單的性質.
1. \((a_1,a_2)=(a_2,a_1)=(-a_1,a_2)=(|a_1|,|a_2|)\)
2. \(a_1|a_j(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=|a_1|\)
3. \((a_1,a_2)=(a_1,a_2,a_1x)\)
4. \((a_1,a_2)=(a_1,a_2+a_1x)\)
5. \((p,a_1)=\begin{cases}p,&p|a_1\\1,&p\nmid a_1\end{cases}\)
6. \(\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\mathcal{D}(a:a=a_1x_1+\cdots+a_nx_n)\)
其中性質1,3,4,5一般情況下同樣成立.
這些性質就不予全部證明了. 大體來說, 證明的思路就是證明左右兩邊的公因數集合相等, 從而自然有最大公因數相等.
以性質4爲例. 根據整除性質有 \(d|a_1,d|a_2\Leftrightarrow d|a_1,d|a_2+a_1x\),
則 \(\mathcal{D}(a_1,a_2)=\mathcal{D}(a_1,a_2+a_1x)\), 從而根據上面的分析得出結論.
另外性質6可以認爲是性質4的自然推論. 這條性質比較本質, 非常重要. 比如下面這條不那麼顯然的定理:
7. \(a_1x_1+\cdots+a_nx_n=1\Rightarrow (a_1,\cdots,a_n)=1\)
證明其實非常簡單: 根據上述性質6有 \(\mathcal{D}(a_1,\cdots,a_n)=\{1,-1\}\), 於是就得出了結論.
接下來我們再給出一條最大公因數的性質並給予證明.
8. \(m|(a_1,\cdots,a_n)\Rightarrow m(a_1/m,\cdots,a_n/m)=(a_1,\cdots,a_n)\)
證明的思路是兩次運用性質1.1.6 (即第1篇筆記標題1性質6, 之後都會這樣編號), 即用整除得到左邊小於等於右邊, 右邊小於等於左邊, 於是就證明了結論. (這時初等數論中一種很常見的證明方法)
證明: 記 \(D=(a_1,\cdots,a_n), d=(a_1/m,\cdots,a_n/m)\).
根據條件有 \(m|D\), 又根據 \(D\) 的定義知 \(D|a_j\), 則 \(m|a_j(1\leqslant j\leqslant n)\).
運用整除性質有 \((D/m)|(a_j/m)\), 則根據 \(d\) 的最大性有 \(D/m\leqslant d\), 即 \(D\leqslant md\).
另一方面, 有 \(d|(a_j/m)\), 則根據整除性質有 \(md|a_j\), 根據 \(D\) 的最大性有 \(md\leqslant D\).
綜上所述有 \(md=D\), 證畢.
簡單討論完了最大公因數, 接下來我們來討論最小公倍數.
設有 \(a_1\cdots a_n\neq0\), 若有 \(a_1|l,\cdots,a_n|l,\) 稱 \(l\) 是 \(a_1,\cdots,a_n\) 的公倍數.
我們記這些公倍數組成的集合爲 \(\mathcal{L}(a_1,\cdots,a_n)\).
我們定義這些數的正公倍數中最小的一個爲最小公倍數, 記作 \([a_1,\cdots,a_n]\).
相對來說, 最小公倍數的性質沒有最大公因數那麼好. 但是我們仍然有下面的結論:
9. \([a_1,a_2]=[a_2,a_1]=[-a_1,a_2]=[|a_1|,|a_2|]\)
10. \(a_j|a_1(2\leqslant j\leqslant n)\Rightarrow [a_1,\cdots,a_n]=|a_1|\)
11. \(d|a_1\Rightarrow [a_1,a_2]=[a_1,a_2,d]\)
12. \([ma_1,\cdots,ma_n]=m[a_1,\cdots,a_n]\)
性質9和11在一般情況下同樣成立. 這些性質的證明和最大公因數對應性質類似, 我們這裏只對性質12進行證明.
證明: 記 \(L=[ma_1,\cdots,ma_n], l=[a_1,\cdots,a_n]\).
一方面有 \(ma_j|L\Rightarrow a_j|(L/m)\Rightarrow l\leqslant(L/m)\Rightarrow ml\leqslant L\),
另一方面有 \(a_j|l\Rightarrow ma_j|ml\Rightarrow L\leqslant ml\).
則 \(L=ml\), 證畢.
2. 輾轉相除法
在對最大公因數進行進一步討論之前, 我們先介紹一下輾轉相除法這一工具.
設有 \(u_0,u_1\)，\(u_1\neq0\). 我們重複應用帶餘除法:
\(\begin{aligned}u_0&=q_0u_1+u_2, &0<u_2<|u_1|\\u_1&=q_1u_2+u_3, &0<u_3<u_2\\&\vdots\\u_{k-1}&=q_{k-1}u_k+u_{k+1}, &0<u_k<u_{k-1}\\u_k&=q_ku_{k+1}, &0<u_{k+1}<u_k\end{aligned}\)
注意到\(|u_1|>u_2>\cdots>u_k>u_{k+1}>0\), 則該過程必會停止, 不會無限重複下去.
有了輾轉相除法, 我們可以推知以下結論:
- \((u_0,u_1)=(u_1,u_2)=\cdots=(u_k,u_{k+1})=u_{k+1}\)
(to be continued)