參考資料:
潘承洞 潘承彪 《初等數論》（第三版）
閔嗣鶴 嚴士健 《初等數論》（第四版）
作爲第一節, 這些都是相當基礎的內容, 但是我們可以感受揣摩其定義, 推導的嚴謹性.
1. 整除
定義: 設 \(a,b\in\mathbb{Z}, a\neq 0\), 若 \(\exist q\in\mathbb{Z}\) 使得 \(b=qa\), 則稱 \(b\) 能被 \(a\) 整除 (\(a\) 整除 \(b\)), 記作 \(a\mid b\), 並稱 \(a\) 是 \(b\) 的因數, \(b\) 是 \(a\) 的因數. 反之, 則記作 \(a\nmid b\).
在之後的定理和性質中, 我們默認各未知量爲整數.
有如下性質:
1. \(a\mid b \Leftrightarrow a\mid -b \Leftrightarrow -a\mid b \Leftrightarrow -a\mid -b\)
2. \(a\mid b,b\mid c\Rightarrow a\mid c\)
3. \(a\mid b,a\mid c\Rightarrow\forall x,y: a\mid bx+cy\)
4. \(\forall k\neq0: a\mid b \Leftrightarrow ka\mid kb\)
5. \(a\mid b,b\mid a\Rightarrow a=\pm b\)
6. \(a\mid b\Rightarrow |a|\leqslant|b|\)
7. \(\forall a,b,c,a\neq0,b=qa+c: a\mid b\Leftrightarrow a\mid c\)
8. \(\forall f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\in\mathbb{Z}[x]: d\mid b-c\Leftrightarrow d\mid f(b)-f(c)\)
性質7根據定義是顯然的. 性質8由 \(b-c\mid b^j-c^j\) 立得.
2. 帶餘除法
設有 \(a,b,a\neq 0\), 則 \(\exist q,r\) 滿足 \(b=qa+r, 0\leqslant r<|a|\), 並稱 \(q\) 是 \(b\) 除以 \(a\) 的商, \(r\) 爲 \(b\) 除以 \(a\) 的餘數.
這裏對存在性和唯一性作簡單論證.
存在性:
作序列 \(\cdots, -2a,-a,0,a,2a,\cdots\), 即 \(a\) 的所有倍數, 則 \(b\) 必在某一對相鄰項之間, 即 \(\exist q: qa\leqslant b<(q+1)a\),
此時設 \(r=b-qa\), 有 \(b=qa+r, 0\leqslant r<|a|\). 存在性證畢.
唯一性:
設 \(\exist q',r',b=q'a+r',0\leqslant r'<|a|,r'\neq r\), 不妨設 \(r'>r\), 作差得 \(0\leqslant r'-r<|a|,r'-r=(q-q')a\).
有 \(r'-r>0\), 則 \(a|r'-r, |a|\leqslant r'-r\), 矛盾. 唯一性證畢.
3. 素數與合數
素數和合數一般在 \(\mathbb{N}\) 中定義.
設 \(p\in\mathbb{N}, p\neq0,1\). 若 \(p\) 只有因數 \(1,p\), 稱 \(p\) 爲素數. 若其還有其他因數, 稱 \(p\) 爲合數.
於是自然數就被分成了 \(0,1\), 素數, 合數 四部分. 在之後的定理或性質中, 我們認爲 \(p,q\) 代表素數.
這裏, 我們列舉一些簡單的性質, 並定性給出埃拉托色尼 (Eratosthenes) 篩法.
1. \(a\) 是合數 \(\Leftrightarrow a=bc, 1<b<a,1<c<a\)
2. \(a>1,a|p\Rightarrow a=p\)
3. \(a\) 是合數 \(\Rightarrow\exist p:p|a\)
4. \(\forall a\leqslant2,\exist p_1,\cdots,p_s\Rightarrow a=p_1\cdots p_s\)
5. \(\forall a>2,a\) 爲合數, \(\exist p|a,p\leqslant\sqrt{a}\)
6. 素數有無窮個.
前兩個性質都是根據定義顯然的. 下面給出剩餘性質的證明.
性質3: 考慮 \(a\) 的所有大於 \(1\) 的因數組成的集合, 取其中最小的, 則這個數就爲素數 (否則這個數還有大於 \(1\) 的因數, 這也是 \(a\) 的因數,與最小性矛盾), 證畢.
性質4:
反證法, 考慮不能用素數乘積表示的最小的數, 則這個數爲合數 (若爲素數則與不能用素數乘積表示矛盾).
根據性質1, 該數可以被表示爲另外兩數的乘積, 且這兩個數不屬於上述集合 (否則與最小性矛盾).
於是我們可以將這兩個數表示爲素數乘積. 則原數也可以表示爲素數乘積. 矛盾. 證畢.
性質5:
反證法. 根據上述證明, 我們知道這個數至少可以被表示爲兩個素數的乘積, 又因爲這些素數根據反證假設都是大於 \(\sqrt{a}\) 的,得出它們的乘積大於 \(a\), 矛盾.
根據以上論證, 我們事實上可以獲得更廣泛的結論: 若一個數可以被表示爲 \(s\) 個素數的乘積, 那麼這些素數中一定存在某個數 \(p_i\leqslant \sqrt[s]{a}\).
性質6: 反證法. 設全部的素數爲 \(p_1,\cdots, p_s\), 則 \(p_1\cdots p_s+1\) 不被任何一個素數整除, 矛盾.
根據性質5, 我們可以得到埃拉托色尼篩法: 將 \(2\) 至 \(\sqrt{N}\) 之間的所有素數的倍數刪去, 就得到了 \(N\) 以內的素數表.
就以 \(N=10\) 爲簡單例子.
初始爲 \(2,3,4,5,6,7,8,9,10\).
當前未被篩選到的是 \(2\),它是素數. 篩去其所有倍數.
剩餘 \(3,5,7,9\), 則 \(3\) 爲素數, 繼續篩去其所有倍數:
剩餘 \(5,7\), 而我們已經完成了對所有小於 \(\sqrt{10}\) 的素數的倍數的剔除. 故剩餘的都爲素數.
綜上所述, \(10\) 以內的全部素數爲 \(2,3,5,7\).