在計算機科學中，二叉樹（Binary tree）是每個結點最多隻有兩個子結點（即不存在分支度大於 2 的結點）的樹結構。這兩個子結點通常被稱作“左子結點”和“右子結點”。
命題 \(A\)：二叉樹的第 \(n\) 層至多擁有 \(2^{n}\) 個結點（定義根結點所在層數 \(n_0=0\)）。
令 \(C(n)\) 表示二叉樹第 \(n\) 層擁有的結點數，則要證命題 \(A\)，即證 \(\forall n\in Z^+_0\)，\(C(n)\leq2^{n}\) 總成立。
當 \(n=0\) 時，\(C(0)\leq2^{0}=1\)，命題成立。
假設 \(n=m\) 時命題 \(A\) 成立，即 \(\exists m\in Z^+_0\)，\(s.t.\ C(m)\leq2^{m}\)，則當 \(n=m+1\) 時：
由定義“二叉樹的每個結點最多隻有兩個子結點”可知，第 \(m+1\) 層的結點個數最多爲 \(2·C(m)\)，即 \(C(m+1)\leq2·C(m)\)，
而 \(C(m)\leq2^{m}\)，故 \(C(m+1)\leq2·C(m)\leq2·2^{m}=2^{m+1}\)，即命題 \(A\) 在第 \(m+1\) 層成立。
由數學歸納法， \(\forall n\in Z^+_0\)，命題 \(A\) 總成立。
命題 \(B\)：深度爲 \(k\) 的二叉樹最大爲 \(2^{k+1}-1\)（定義二叉樹的大小爲二叉樹中結點的總數、根結點所在深度 \(k_0=0\)）。
令 \(S(k)\) 表示深度爲 \(k\) 的二叉樹的結點總數。
由命題 \(A\)，二叉樹的第 \(n\) 層至多擁有 \(2^{n}\) 個結點，故 \(\\S(k)=C(0)+C(1)+\cdots+C(k)\leq2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k}=1×(1-2^{k+1})/(1-2)=2^{k+1}-1\)。
命題 \(C\)：深度爲 \(k\) 的滿二叉樹（完美二叉樹）的大小（結點總數）爲 \(2^{k+1}-1\)。
對於深度爲 \(k\) 的滿二叉樹，\(C(i)=2^{i}\) 總成立（\(i=\{0,1,2,3,\cdots,k-1,k\}\)），故滿二叉樹的結點總數 \(\\S(k)=2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k}=1×(1-2^{k+1})/(1-2)=2^{k+1}-1\)[1]。
命題 \(D\)：深度爲 \(k\) 的完全二叉樹的結點個數大於 \(2^k-1\)，小於等於 \(2^{k+1}-1\)。
完全二叉樹從根結點到倒數第二層滿足完美二叉樹，最後一層可以不完全填充。
由命題 \(C\)，對於深度爲 \(k\) 的完全二叉樹，其從根結點到倒數第二層部分的節點總數爲 \(2^k-1\)，最後一層填滿的情況下二叉樹的結點總數爲 \(2^{k+1}-1\)，故完全二叉樹的結點個數大於 \(2^k-1\)，小於等於 \(2^{k+1}-1\)。
命題 \(E\)：結點個數爲 \(S\) 的完全二叉樹的深度（高度）爲 \([lgS]\)。
假設節點總數爲 \(S\) 的完全二叉樹的高度爲 \(h\)，由完全二叉樹的定義，對於高度爲 \(h\) 的完全二叉樹，其節點總數小於等於高爲 \(h\) 的滿二叉樹的節點總數 \(S_p(h)\)，大於等於高爲 \(h-1\) 的滿二叉樹的節點總數 \(S_p(h-1)\) 加 \(1\)，即
由命題 \(C\)，\(S_p(h-1)=2^{h}-1\)，\(S_p(h)=2^{h+1}-1\)，故
即
取對數有
解得
命題 \(F\)：從左到右從上到下構造的大小爲 \(N\) 的完全二叉樹的葉子結點個數爲 \(N-[N/2]\)。
令 \(S_y(N)\) 表示大小爲 \(N\) 的完全二叉樹的葉子結點個數，要證命題 \(F\)，即證 \(S_y(N)=N-[N/2]\)。
大小爲 \(2\) 的完全二叉樹的葉子結點個數 \(S_y(2)=1\)，\(N-[N/2]=2-[2/2]=1\)，命題成立。另不難知道大小爲 \(0\) 或 \(1\) 的完全二叉樹滿足命題。
假設命題在 \(N=M\) 時成立，即大小爲 \(M\) 的完全二叉樹的葉子結點個數 \(S_y(N)=M-[M/2]\)，那麼當 \(N=M+1\) 時，若：
① \(M\) 爲偶數，那麼大小爲 \(M\) 的完全二叉樹的最後一個結點沒有兄弟結點，則大小爲 \(M+1\) 的完全二叉樹的葉子結點個數爲大小爲 \(M\) 的完全二叉樹的葉子結點個數加一，即 \(S_y(M+1)=S_y(M)+1=M-[M/2]+1\)，而 \(M\) 爲偶數，故 \([M/2]=[(M+1)/2]\) 進而 \(M-[M/2]+1=M+1-[(M+1)/2]\)，故命題在 \(N=M+1\) 時成立；
② \(M\) 爲奇數，那麼大小爲 \(M\) 的完全二叉樹的最後一個結點有兄弟結點，則大小爲 \(M+1\) 的完全二叉樹的葉子結點個數與大小爲 \(M\) 的完全二叉樹的葉子結點個數相等，即 \(S_y(M+1)=S_y(M)=M-[M/2]\)，而 \(M\) 爲奇數，故 \([(M+1)/2]=[M/2]+1\) 進而 \(M-[M/2]=M+1-[(M+1)/2]\)，故命題在 \(N=M+1\) 時成立。
另：
當 \(N\) 爲偶數時，\(N-[N/2]=N-N/2=N/2=[(N+1)/2]\)；
當 \(N\) 爲奇數時 \(N-[N/2]=N+1-[(N+1)/2]=N+1-(N+1)/2=(N+1)/2=[(N+1)/2]\)。
故原命題也可寫成：大小爲 \(N\) 的完全二叉樹的葉子結點個數爲 \([(N+1)/2]\)。
類似也不難得到滿多叉樹的大小，比如高度爲 \(k\) 的滿三叉樹的大小 \(S_t(k)=3^{0}+3^{1}+\cdots+3^{k}=(3^{k+1}-1)/2\) ↩︎