完全二叉樹的葉子結點個數

大小爲 N 的完全二叉樹的葉子結點個數爲 N-[N/2]。

令 Sy(N) 表示大小爲 N 的完全二叉樹的葉子結點個數，要證該命題，即證 Sy(N)=N-[N/2]。

大小爲 2 的完全二叉樹的葉子結點個數 Sy(2)=1，N-[N/2]=2-[2/2]=1，命題成立。另不難知道大小爲 0 或 1 的完全二叉樹滿足命題。

假設命題在 N=M 時成立，即大小爲 M 的完全二叉樹的葉子結點個數 Sy(N)=M-[M/2]，那麼當 N=M+1 時，若：

1. M 爲偶數（度爲 1 的結點個數爲 1），那麼大小爲 M 的完全二叉樹的最後一個結點沒有兄弟結點，則大小爲 M+1 的完全二叉樹的葉子結點個數爲大小爲 M 的完全二叉樹的葉子結點個數加一，即 Sy(M+1)=Sy(M)+1=M-[M/2]+1，而 M 爲偶數，故 [M/2]=[(M+1)/2] 進而 M-[M/2]+1=M+1-[(M+1)/2]，故命題在 N=M+1 時成立；

2. M 爲奇數（度爲 1 的結點個數爲 0），那麼大小爲 M 的完全二叉樹的最後一個結點有兄弟結點，則大小爲 M+1 的完全二叉樹的葉子結點個數與大小爲 M 的完全二叉樹的葉子結點個數相等，即 Sy(M+1)=Sy(M)=M-[M/2]，而 M 爲奇數，故 [(M+1)/2]=[M/2]+1 進而 M-[M/2]=M+1-[(M+1)/2]，故命題在 N=M+1 時成立。

另：

• 當 N 爲偶數時，N-[N/2]=N-N/2=N/2=[(N+1)/2]；

• 當 N 爲奇數時 N-[N/2]=N+1-[(N+1)/2]=N+1-(N+1)/2=(N+1)/2=[(N+1)/2]。

故原命題也可寫成：大小爲 N 的完全二叉樹的葉子結點個數爲 [(N+1)/2]。

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另一種方法：

二叉樹的度指該節點引出的邊數（節點下面的邊），也即節點的子節點樹。那麼二叉樹有 3 種度：

• n0：度爲 0，即爲葉子節點數量。
• n1：度爲 1，即爲只有左子樹或者右子樹的節點數量，對於完全二叉樹，只可能存在一種情況，節點數爲奇數時有一個節點只有一個左子樹，所以 n1 = 0 or 1。
• n2：度爲 2，即有左右節點的節點數量。

由二叉樹的性質有 n0 = n2 + 1。

證明：

• 由於 N = n0 + n1 + n2，而 n0 = n2 + 1，所以 N = 2n0 + n1 - 1，n0=(N+1-n1)/2
• 對於完全二叉樹，如果 N 爲奇數，說明不存在只有左子節點的節點，n1 = 0, n0 = (N+1)/2；如果 N 爲偶數，說明存在 1 個只有左子節點的節點，n1 = 1, n0 = N/2。可以合併爲 n0 = [(N+1)/2]。

ref：完全二叉樹的葉子節點數、完全二叉樹葉子節點的個數