221. 最大正方形
在一個由 '0' 和 '1' 組成的二維矩陣內，找到只包含 '1' 的最大正方形，並返回其面積。
示例 1：
輸入：matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]
輸出：4
示例 2：
輸入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]
輸出：1
示例 3：
輸入：matrix = [["0"]]
輸出：0
提示：
m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 300
matrix[i][j] 爲 '0' 或 '1'
來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode.cn/problems/maximal-square
著作權歸領釦網絡所有。商業轉載請聯繫官方授權，非商業轉載請註明出處。
可以使用動態規劃降低時間複雜度。我們用 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 表示以 (i, j)(i,j) 爲右下角，且只包含 11 的正方形的邊長最大值。如果我們能計算出所有 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 的值，那麼其中的最大值即爲矩陣中只包含 11 的正方形的邊長最大值，其平方即爲最大正方形的面積。
那麼如何計算 \textit{dp}dp 中的每個元素值呢？對於每個位置 (i, j)(i,j)，檢查在矩陣中該位置的值：
- 如果該位置的值是 00，則 \textit{dp}(i, j) = 0dp(i,j)=0，因爲當前位置不可能在由 11 組成的正方形中；
- 如果該位置的值是 11，則 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三個相鄰位置的 \textit{dp}dp 值決定。具體而言，當前位置的元素值等於三個相鄰位置的元素中的最小值加 11，狀態轉移方程如下：
dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1如果讀者對這個狀態轉移方程感到不解，可以參考 1277. 統計全爲 1 的正方形子矩陣的官方題解，其中給出了詳細的證明。
此外，還需要考慮邊界條件。如果 ii 和 jj 中至少有一個爲 00，則以位置 (i, j)(i,j) 爲右下角的最大正方形的邊長只能是 11，因此 \textit{dp}(i, j) = 1dp(i,j)=1。
以下用一個例子具體說明。原始矩陣如下。
0 1 1 1 0
1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
對應的 \textit{dp}dp 值如下。
0 1 1 1 0
1 1 2 2 0
0 1 2 3 1
0 1 2 3 2
0 0 1 2 3下圖也給出了計算 \textit{dp}dp 值的過程。
代碼實現：
class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix)
{
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n));
int ans = 0;
for(int i = 0; i < m; ++i)
{
for(int j = 0; j < n; ++j)
{
if(matrix[i][j] == '0')
dp[i][j] = 0;
else if(i == 0 || j == 0)
dp[i][j] = 1;
else
dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), dp[i-1][j-1]) + 1;
ans = max(ans, dp[i][j]);
}
}
return ans * ans;
}
};