復讀自 丘維聲《近世代數》，但是順序略有調整。
大概只會寫一點羣論的內容。
這本書的講解順序比較新奇，是在開頭就引出了羣環域的基本概念，再在後面進行深入研究。
另外LaTeX真的難打。
1. 等價關係
二元關係：設 \(W\) 非空，\(W\in S\times S\)，稱 \(W\) 爲 \(S\) 上的一個二元關係。若 \((a,b)\in W\)，稱 \(a,b\) 有 \(W\) 關係，記作 \(aWb\) 或 \(a\sim b\)；否則稱 \(a,b\) 沒有 \(W\) 關係。
等價關係：若 \(S\) 上的二元關係 \(\sim\) 有如下性質：
- \(\forall a\in S,a\sim a\)
- \(\forall a,b\in S, a\sim b\Rightarrow b\sim a\)
- \(\forall a,b,c\in S,a\sim b\and b\sim c\Rightarrow a\sim c\)
此時稱 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等價關係。
等價類：設 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等價關係，\(\forall a\in S\)，稱 \(\bar{a}:=\{x\in S|x\sim a\}\) 是 \(a\) 的等價類，\(a\) 是 \(\bar{a}\) 的一個代表。
等價類有下面的簡單性質：
- \(\bar{a}=\bar{b}\Lrarr a\sim b\)
證明：
必要性：\(a\in \bar{a}=\bar{b}\Rarr a\sim b\)
充分性：由 \(a\sim b\)，\(\forall c\in \bar{a},c\sim a\Rarr c\sim b,c\in\bar{b}\Rarr\bar{a}\sube\bar{b}\)，同理 \(\bar{b}\sube\bar{a}\)，得 \(\bar{a}=\bar{b}\)。
根據這個定理我們發現，等價類 \(\bar{a}\) 中的任意一個元素都可以是該等價類的一個代表。因爲 \(\forall c\in\bar{a},c\sim a\Rightarrow c\in\bar{c}=\bar{a}\)。
- \(\bar{a}\neq\bar{b}\Rarr\bar{a}\cap\bar{b}=\varnothing\)
證明：
設 \(\exist c\in\bar{a}\cap\bar{b}\)，則 \(c\in\bar{a},c\in\bar{b}\)，故 \(c\sim a,c\sim b\)，得 \(a\sim b\)，由上面的定理知 \(\bar{a}=\bar{b}\)，矛盾。
我們可以用等價類對集合進行劃分。
設 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等價關係，則所有等價類組成的集合爲 \(S\) 的一個劃分。
證明：根據上面的定理 2，我們知道不同的等價類交集爲空。故我們只需證明所有等價類的並集是 \(S\) 即可。顯見 \(\bigcup\limits_{a\in S}\bar{a}\sube S\)。另一方面，\(\forall b\in S,b\in\bar{b}\sube\bigcup\limits_{a\in S}\bar{a}\Rarr S\sube\bigcup\limits_{a\in S}\bar{a}\)，綜上我們就有 \(\bigcup\limits_{a\in S}\bar{a}=S\)。
我們定義所有等價類組成的集合是 \(S\) 關於 \(\sim\) 的商集，記作 \(S/\sim\)。
反過來，若給定集合的一個劃分，我們也能據此構造一個等價關係。
證明：設 \(\{S_1,\cdots,S_n\}\) 是 \(S\) 的一個劃分。構造 \(\sim:=\{(a,b)|\exist S_i,a\in S_i\and b\in S_i\}\)，顯見 \(\sim\) 是 \(S\) 上的等價關係並且每個 \(S_i\) 是一個等價類。
2. 羣環域的概念
1. 羣
設 \(G\) 是非空集合，在 \(G\) 上定義一個代數運算（乘法），滿足：
- \(\forall a,b,c\in G,(ab)c=a(bc)\)（結合律）
- \(\exist e\in G,\forall a\in G,ea=ae=a\) （存在單位元）
- \(\forall a\in G,\exist a^{-1}\in G,aa^{-1}=a^{-1}a=e\)（存在逆元）
此時稱 \(G\) 關於這個代數運算構成了羣。
若乘法還滿足交換律，即 \(\forall a,b\in G,ab=ba\)，稱這個羣是一個交換羣（Abel 羣）。
有限羣 \(G\) 的元素個數叫作羣的階，記作 \(|G|\)。
羣的單位元唯一。事實上若設有兩個不同的單位元 \(e_1,e_2\)，有 \(e_1=e_1e_2=e_2\)，矛盾。
羣中元素的逆元唯一。事實上若設 \(a\) 有兩個不同的逆元 \(a^{-1},a^{-1}_*\)，則有 \(aa^{-1}=e=aa^{-1}_*\)，左右同時左乘 \(a^{-1}\)，由結合律即得 \(a^{-1}=a^{-1}_*\)，矛盾。
方便起見，我們定義 \(a^n:=a^{n-1}a(n\geqslant1)\)，\(a^0=e\)，\(a^{-n}=(a^{-1})^n\)。容易發現 \(a^na^m=a^{n+m}\)，\((a^n)^m=a^{nm}\)，\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)，但是一般 \((ab)^n\neq b^na^n\)。
有的時候我們也會把羣中的運算稱爲加法，爲符合習慣，上述記號和說法會有一些變化。有 \(0:=e\)，稱爲零元，\(-a:=a^{-1}\)，稱爲負元，並記 \(na:=a^n\)。不過之後的定義都是對乘法進行定義，但是這些定義對加法是類似的。
元素的階：對於羣 \(G\) 中的元素 \(a\)，若存在滿足 \(a^n=e\) 的最小正整數 \(n\)，稱 \(n\) 是元素 \(a\) 的階，記作 \(|a|\)。若 \(\forall n\in\mathbb{Z}^*,a^n\neq e\)，稱 \(a\) 是無限階元素。
羣的直積：設有兩個羣 \(G,H\)，在 \(G\times H\) 上定義乘法運算 \((g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2)\)，容易發現 \(G\times H\) 和這個乘法運算構成了一個羣。這個羣叫作 \(G\) 和 \(H\) 的直積，仍記作 \(G\times H\)。另外如果稱羣上的運算爲加法，那這個羣就叫做 \(G\) 和 \(H\) 上的直和，記作 \(G\oplus H\)。
羣的同構：若有雙射 \(\sigma:G\mapsto\tilde{G}\) 滿足 \(\forall a,b\in G,\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)\)，稱 \(G\) 和 \(\tilde{G}\) 同構，記作 \(G\cong\tilde{G}\)。
同構的羣的元素存在上述的對應關係，並且運算性質仍然保持。
具體地，記羣 \(\tilde{G}\) 的單位元爲 \(\tilde{e}\)，有下面幾個性質：
- \(\sigma(e)=\tilde{e}\)
證明：\(\tilde{e}=\sigma(e)^{-1}\sigma(e)=\sigma(e)^{-1}\sigma(ee)=\sigma(e)^{-1}(\sigma(e)\sigma(e))=\tilde{e}\sigma(e)=\sigma(e)\)。
- \(\forall a\in G,\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}\)
證明：\(\sigma(a)\sigma(a^{-1})=\sigma(aa^{-1})=\sigma(e)=\tilde{e}=\sigma(a)\sigma(a)^{-1}\)，故 \(\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}\)。
- \(|a|=|\sigma(a)|\)，或者兩者都爲無限階元素。
證明：注意到 \(a^n=e\Lrarr\sigma(a^n)=\sigma(e)\Lrarr (\sigma(a))^n=\tilde{e}\)（\(\sigma\) 是雙射），即得結論。
另外容易發現羣的同構是羣的集合上的等價關係。此時它的等價類又稱爲同構類。