最早關於自適應模糊神經網絡推理系統( Adaptive Neuro Fuzzy Inference System，ANFIS)的文章應該是Jyh-Shing Roger Jang 於1993年發表的《ANFIS : Adaptive-Network-Based Fuzzy Inference System》這篇文章。當時對於處理模糊不確定系統，使用傳統數學工具的系統建模並不能得到令人滿意的效果。考慮採用模糊if-then規則的模糊推理系統不需要精確的定量分析就可以對人的知識和推理過程進行定性建模，作者提出了一種基於自適應網絡的模糊推理系統。
ANFIS將模糊控制的模糊化、模糊推理和反模糊化3個基本過程全部用神經網絡來實現，利用神經網絡的學習機制自動地從輸入輸出樣本數據中抽取規則，構成自適應神經模糊控制器。它的模型結構由自適應網絡和模糊推理系統合併而成，在功能上繼承了模糊推理系統的可解釋性的特點以及自適應網絡的學習能力，能夠根據先驗知識改變系統參數，使系統的輸出更貼近真實的輸出。
該系統運用神經網絡的信息儲存與自學習能力對多類自變量數據進行機器學習，並對模糊信息完成模糊推理功能，能夠自動產生並更正輸入與輸出變量的隸屬度函數，產生最優的模糊規則。ANFIS克服了單純神經網絡的黑匣子特性與模糊推理過程中推理規則的不全面性、粗糙性，比一般 BP 神經網絡訓練更快速，同時還具有模糊系統簡潔、快速的特點。
介紹自適應模糊推理系統（ANFIS）模型前，先簡單說一下模糊推理系統（FIS）以及自適應網絡。
模糊推理系統（FIS）
FIS由五個功能模塊組成：
1）包含若干模糊if-then規則的規則庫；
2）定義關於使用模糊if-then規則的模糊集的隸屬函數的數據庫；
3）在規則上的執行推理操作的決策單元；
4）將明確輸入轉化爲與語言價值匹配的程度的模糊界面；
5）將推理得到的模糊結果轉化爲明確輸出的去模糊界面。
通常，1、2被聯合稱爲知識庫。FIS結構圖如下：
自適應網絡
自適應網絡是一個由節點和連接節點的定向鏈路組成的多層前饋網絡，其中每個節點對傳入的信號以及與此節點相關的一組參數執行一個特定的功能(節點函數)。自適應網絡的結構中包含有參數的方形節點和無參數的圓形節點，自適應網絡的參數集是每個自適應節點的參數集的結合。他們的輸出依賴於這些節點相關的參數，學習規則指定如何更改這些參數。
一種自適應網絡結構如下圖所示：
ANFIS模型結構
ANFIS的模型結構由自適應網絡和模糊推理系統合併而成，在功能上繼承了模糊推理系統的可解釋性的特點以及自適應網絡的學習能力，能夠根據先驗知識改變系統參數，使系統的輸出更貼近真實的輸出。一種ANFIS結構圖如下：
ANFIS 模型計算主要採用 Takagi-Sugeno 模糊模型，假設該模型擁有 x，y 兩個輸入量與 z 一個輸出量，形成 2 個 if-then 語言規則，公式爲:
規則1：\(\text { if } x=A_{1} \quad y=B_{1} \text {, then } f_{1}=p_{1} x+q_{1} y+r_{1}\)
規則2：\(\text { if } x=A_{2} \quad y=B_{2} \text {, then } f_{2}=p_{2} x+q_{2} y+r_{2}\)
式中: \(f_i\) 爲規則 i 所對應的輸出結果; \(A_1\)，\(B_1\)爲規則 i 對應的非線性參數; \(p_1\)，\(q_1\)，\(r_1\) 爲規則 1 的結論參數， \(p_2\)，\(q_2\)，\(r_2\) 爲規則 2 的結論參數。 x，y 兩個輸入量形成的 ANFIS 模型計算結構如下圖所示，共包含 5 層結構，前3層爲規則前件，後2層爲規則後件。每層結構功能及計算公式爲:
第一層( 輸入層) ，將輸入變量模糊化，轉換爲不同模糊集的隸屬度。公式爲:
\(Q_{i}^{1}=\mu A_{i}(x) \quad i=1,2\)
\(Q_{i}^{1}=\mu B_{i-2}(x) \quad i=3,4\)
式中: i爲節點; x，y 分別表示節點 i的輸入變量; $\mu A_{i}(x) $ ，$\mu B_{i}(y) $爲 x，y 輸入變量的隸屬函數; \(Q_{i}^{1}\)爲第一層 i節點對應的隸屬度值。
第二層: 計算各模糊規則的觸發強度，由不同模糊集的隸屬度相乘所得。公式爲:
\(Q_{i}^{2}=w_{i}=\mu A_{i}(x) \times \mu B_{j}(y)\)
第三層: 將第二層所得的觸發強度歸一化，爲 第 i 個規則在所有規則庫中的觸發比值，即在整個推理過程中使用到第 i 個規則的程度。計算公式爲:
\(Q_{i}^{3}=\bar{w}_{i}=\frac{w_{i}}{\left(w_{1}+w_{2}\right)}\)
第四層: 計算規則輸出。公式爲:
\(Q_{i}^{4}=\bar{w}_{i} f_{i}=\bar{w}_{i} (p_{i} x+q_{i} y+r_{i})\)
第五層: 去模糊化，得到確切的輸出。計算公式爲每條規則的結果加權平均（權重爲規則的歸一化觸發程度，理解爲計算期望），即:
\(Q_{i}^{5}=\sum_{i} \bar{w}_{i} f_{i}=\frac{\sum_{i} w_{i} f_{i}}{\sum_{i} w_{i}}\)