Monte Carlo Integration
：蒙特卡羅積分，近似求定積分的一種方法，取某個點xi，對應的y值做矩形，此矩形近似等於定積分面積，然後取多次求平均
求出概率密度函數pdf，就可以解出定積分，一般使用平均採樣，使得概率密度函數是常數，概率密度函數在自變量區間內對dx進行積分就是概率之和等於1。
此時上圖中的FN就是開頭提出的那種以矩形面積近似等於定積分的結果，b-a爲矩形的寬，f(Xi)爲矩形的高，然後加起來求平均。
下圖就是蒙特卡羅積分求定積分的公式。
路徑追蹤
Whitted-Style Ray Tracing: Problem 1：
Whitted-Style的性質是鏡面反射和折射，在粗糙表面會停止反射。
Whitted-Style Ray Tracing在鏡面反射的物體表面上是對的，但在漫反射的（粗糙）物體表面上是錯的，因爲Whitted-Style的光線只會鏡面反射和折射，而實際物體表面的光線是有漫反射的。此時當Whitted-Style Ray照射到粗糙表面就會發生反物理現象，
Whitted-Style Ray Tracing: Problem 2：
Whitted-Style Ray在照射到漫反射表面時會停止，直接進行着色計算，此時就會忽略物體與物體之間的漫反射光線。
而路徑追蹤就是爲了解決Whitted-Style Ray Tracing的問題。
從渲染方程開始分析，因爲渲染方程肯定是對的
此時，我們需要解出右邊的定積分。考慮在某一個點p的着色，p點的光照來源於光源或者漫反射光，先只考慮來源於光源的光，
入射光Li是從各方位的立體角wi入射進來，然後經過prdf反射出去，使用蒙特卡羅積分求解，首先需要知道解出pdf，由於是對
立體角wi進行積分的，對wi在各個方向平均取值，即pdf爲常數，wi在半球方向上爲2π，wi爲定積分區間。即從0到2π。
然後考慮從其他物體漫反射進來的光線，此時把p點作爲攝像機，Q點作爲着色點，也就是遞歸了
但此時會有第一個問題，在考慮一個點的着色時，我們會朝着各個方向來計算他們的光線，也就是說一根光線會轉變成N個光線，然後在下一個點又會轉變成N個光線，就是指數級爆炸了，爲了解決這個問題，我們只能把N=1，這個時候就是Path Tracing了。
在實際操作時，從觀測點向一個像素髮出N跟光線，然後算出這N個光線的路徑追蹤後再求平均，即爲該像素的着色結果，
此時也算是解決噪聲大的問題。
第二個問題是上圖中的代碼停不下來，因爲遞歸必須是要有停止條件的，在現實生活中的光線是會無限反彈的，但計算機不能模擬無限次反彈，
所以引進俄羅斯輪盤賭的概念來解決此問題，即每一根光線有一定的概率能反彈出去，反之就是不能彈射出去。
這個時候還有一個問題，當我們在一個像素上的採樣率比較低的時候噪聲會比較大，雖然高採樣率會解決這個問題，但造成了性能的開銷，我們希望
低採樣率時也能有一個低噪音的效果。
原因是因爲pdf的採樣是在單位半球上對各個方向採樣的，從單位球上向各個方向發出光線，但並不是每根光線都能達到光源上，
根據蒙特卡洛的原理，pdf並不是固定的，改變pdf來改變上面的情況，此時我們在光源上採樣，就保證了每根光線都可以到達光源上。
但因爲採樣是在光源上，積分是在單位球的立體角上，就不符合蒙特卡洛積分
這時我們把dA轉換成dw
得到最終的結果
還有一個小問題就是從着色點到光源之間是否有遮擋物，從着色點發出一條光線到光源，檢查是否能不能直接到達光源
