本文學習丁老師寫的同態加密的文章，做些筆記。
引言
- 同態加密適用於雲計算。
- 因爲任意計算都可以由加法和乘法構成，全同態意味着計算函數\(f\)可以是任意計算操作（任意次加法和乘法）。
- 同態加密，起源於“隱私同態”的概念，但並未給出具體實現；後續提出一些部分同態性的方案，比如乘法同態（RSA、ElGamal），加法同態（Paillier，GGH），一次乘法和任意次加法（BGN）；全同態的概念和實現是Gentry09中提出。
留個疑問：爲什麼只能計算一次乘法，多次會解密錯誤麼？
發展
- 評估函數，就是對密文計算的函數，底層實現是通過一系列邏輯門電路（AND門、OR門、NOT門等）。
- 電路深度（乘法次數），就是電路中布爾門的個數，具體講就是從輸入到輸出的最長路徑上布爾門的個數，能計算任意深度的門電路，就實現了全同態。
- 同態計算最大的問題：隨着密文的計算，噪聲變大（加法，噪聲加倍；乘法，噪聲平方），若超過界限則會影響最後的解密結果，爲了能正確解密，需要限制密文運算次數依次限制噪聲的積累，這也就是Leveled-FHE。
- 如何減少電路勝讀的限制？方法：當噪音快到到臨界值時，解密數據，再重新加密，這樣可以將噪音恢復到初始低水平，這就是自舉技術最初構造的思路。但這樣解密需要私鑰，又不能泄漏私鑰，所以解密所需的也需要加密。
- 如果不超過電路深度所能接受的噪音界限，那麼評估函數（計算函數）就可以進行人已計算，所以可以利用評估函數調用解密函數，所以這裏給評估函數的密鑰也是加密的。
- 自舉的原理，可以用工匠在箱子中製作寶石的例子來說明，具體的可以分成重加密和刷新密文兩步，這樣就能實現真正的全同態，這也是目前能實現真正FHE的唯一方法。
- 自舉是建立在這樣的假設之上：解密電路本身足夠淺（解密電路所產生的的噪音不會超過噪音閾值），但在實際中，使用評估函數調用解密函數時，噪音依舊會增加，可能會超過噪音閾值，這裏使用“擠壓解密（squashing decrypt）”的方法解決，但會使得密鑰變長變複雜。
- 設計全同態的架構：先設計Leveled-FHE，再通過自舉完成FHE。
- 全同態加密大多是公鑰加密，也有對稱加密，其中方案的安全性大多依賴於數據難題，其中RSA依賴於大素數難分解問題、Gentry09基於理想格上的困難問題，比如CVP問題和SVP問題等、DGHV10是基於AGCD問題、BV11和GSW等基於LWE問題、BGV和BFV等是基於RLWE問題。
- BGV12方案比較經典的原因在：基於RLWE問題（LWE問題變體）、採用不同的方法降噪，即在每一步計算（乘法）後漸增式的調整系統參數來防止噪音達到閾值，由此實現第一個Leveled-FHE方案。
抗量子攻擊
- 全同態加密方案，一般選擇儘可能大的參數，來確保方案的安全性。
- 基於LWE問題設計的全同態方案，能抵抗常規計算機的攻擊，也能抵抗量子計算機的攻擊，前提是選擇合適的參數。
- 基於RLWE問題設計的全同態方案，安全性是更加確定的，但基於一個假設：在理想格中求解密鑰的格是困難的，該假設只是推測，目前並不能證明。
應用
- 全同態加密缺點：爲了保證安全性，1Bit的明文加密後，會膨脹爲幾KBit甚至幾MBit的數據量，且加密時使用的公鑰也是“巨大的”，會達到幾MB甚至幾GB；
- 爲了提升效率，提出多比特加密，分組加密，明文打包等技術，提升加密效率，減少開銷。
- 同態加密的應用：在線醫療、金融股票、廣告投放、郵件垃圾過濾等。
競爭
- 基於LWE問題設計的方案，可以在硬件上優化，提升方案效率。
總結
- 同態加密並不實用，使用昂貴，但具有研究意義，對未來影響很大，就像剛開始的電、電話、計算機等一樣，不斷優化，普及開就能對社會產生重大影響。