本文主要內容：伴隨矩陣法矩陣求逆
一、原理/知識點
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}
\]
|A|爲矩陣A的行列式。若|A|=0，則矩陣A爲奇異矩陣 (Singular Matrix)，不存在逆矩陣。
A*爲矩陣A的伴隨矩陣：
\[A^{*}=
\left(
\begin{array}{ccc}
A_{11} & A_{12} & A_{13}\\
A_{21} & A_{22} & A_{23}\\
A_{31} & A_{32} & A_{33}\\
\end{array}
\right)
\]
二、練習/實踐
數學例子
\[求矩陣
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 0\\
5 & 2 & 1\\
4 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
的逆矩陣
\]
解：
\[A=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 0\\
5 & 2 & 1\\
4 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
\]
|A|= -1 ≠ 0，所以A是非奇異矩陣，即矩陣A存在逆矩陣。
\[A^{*}=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
-8 & 12 & -13\\
\end{array}
\right)
\]
所以
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}=
\frac{1}{-1}
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
-8 & 12 & -13\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
-2 & 3 & -3\\
1 & -1 & 1\\
8 & -12 & 13\\
\end{array}
\right)
\]
是不是很簡單呢？
三、具體應用：相機內參求逆
以針孔相機爲例，相機內參矩陣K
\[K=
\left(
\begin{array}{ccc}
f_x & 0 & c_x\\
0 & f_y & c_y\\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
利用伴隨矩陣法求相機內參K的逆矩陣
\[K^{-1}=K_{inv}=
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{fx} & 0 & -\frac{cx}{fx}\\
0 & \frac{1}{fy} & -\frac{cy}{fy}\\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]