怪獸存活概率問題
作者：Grey
原文地址：
題目描述
給定3個參數，N，M，K 怪獸有 N 滴血，等着英雄來砍自己，英雄每一次打擊，都會讓怪獸流失，
怪獸每一次流失的血量在區間[0……M]上等概率的獲得一個值，求 K 次打擊之後，英雄把怪獸砍死的概率。
主要思路
由題目含義可知：怪獸在經歷 K 次打擊後所有可能的掉血情況有 (M+1) 的 K 次方種，，即：
long all = (long) Math.pow(M + 1, K)
如果怪獸在 K 次打擊後，被砍死的情況有 kill 種，那麼
(double) kill / (double) all;
即爲怪獸被砍死的概率。
暴力解法
定義遞歸函數
long process(int times, int M, int hp)
遞歸含義是：怪獸還剩 hp 點血，每次的傷害在[0……M]範圍上，還有 times 次可以砍，返回砍死的情況數。
那麼 base case 有如下兩種情況
// 情況一：已經沒有被砍的次數了，這個時候，血量如果正好是小於等於0的值， 說明怪獸已經被砍死一次
// 否則怪獸不可被砍死
if (times == 0) {
return hp <= 0 ? 1 : 0;
}
// 情況二：怪獸已經死了，但是還可以砍
// 此時，所有的砍法都滿足條件，所以情況就是(long) Math.pow(M + 1, times)
if (hp <= 0) {
return (long) Math.pow(M + 1, times);
}
接下來就是普遍情況，由於每次攻擊是 [0……M] 中等概率的一個值，則枚舉從 0 到 M 任意一個值跑遞歸函數即可。
long ways = 0;
for (int i = 0; i <= M; i++) {
ways += process(times - 1, M, hp - i);
}
完整代碼如下
public class Code_KillMonster {
public static double right(int N, int M, int K) {
if (N < 1 || M < 1 || K < 1) {
return 0;
}
// monster在經歷K次打擊後所有可能的掉血情況是
long all = (long) Math.pow(M + 1, K);
long kill = process(K, M, N);
return (double) kill / (double) all;
}
//怪獸還剩 hp 點血，每次的傷害在[0……M]範圍上，還有 times 次可以砍，返回砍死的情況數。
public static long process(int times, int M, int hp) {
// 情況一：已經沒有被砍的次數了，這個時候，血量如果正好是小於等於0的值， 說明怪獸已經被砍死一次
// 否則怪獸不可被砍死
if (times == 0) {
return hp <= 0 ? 1 : 0;
}
// 情況二：怪獸已經死了，但是還可以砍
// 此時，所有的砍法都滿足條件，所以情況就是(long) Math.pow(M + 1, times)
if (hp <= 0) {
return (long) Math.pow(M + 1, times);
}
long ways = 0;
for (int i = 0; i <= M; i++) {
ways += process(times - 1, M, hp - i);
}
return ways;
}
}
動態規劃（未做枚舉優化）
根據上述暴力遞歸函數可以得知，遞歸函數的可變參數有兩個，分別是 times 和 hp，且變化範圍是固定的，可以定義一個二維數組 dp，表示所有的遞歸過程解
long[][] dp = new long[K + 1][N + 1];
dp[times][hp] 就表示遞歸函數long process(int times, int M, int hp)的含義，即：怪獸還剩 hp 點血，每次的傷害在[0……M]範圍上，還有 times 次可以砍，砍死的情況數有多少。
根據 base case, 可知
dp[0][0] = 1;
且
dp[times][0] = (long) Math.pow(M + 1, times)
接下來就是普遍位置，根據上述暴力遞歸函數可知：process(times, M, hp)依賴process(times - 1, M, hp - i)
即dp[times][hp]依賴dp[times-1][hp-i]位置，如下圖所示
圖中綠色部分的格子依賴黃色部分的格子，
代碼如下，
for (int times = 1; times <= K; times++) {
dp[times][0] = (long) Math.pow(M + 1, times);
for (int hp = 1; hp <= N; hp++) {
long ways = 0;
for (int i = 0; i <= M; i++) {
if (hp - i >= 0) {
ways += dp[times - 1][hp - i];
} else {
ways += (long) Math.pow(M + 1, times - 1);
}
}
dp[times][hp] = ways;
}
}
完整代碼如下
public class Code_KillMonster {
public static double dp1(int N, int M, int K) {
if (N < 1 || M < 1 || K < 1) {
return 0;
}
long all = (long) Math.pow(M + 1, K);
long[][] dp = new long[K + 1][N + 1];
dp[0][0] = 1;
for (int times = 1; times <= K; times++) {
dp[times][0] = (long) Math.pow(M + 1, times);
for (int hp = 1; hp <= N; hp++) {
long ways = 0;
for (int i = 0; i <= M; i++) {
if (hp - i >= 0) {
ways += dp[times - 1][hp - i];
} else {
ways += (long) Math.pow(M + 1, times - 1);
}
}
dp[times][hp] = ways;
}
}
long kill = dp[K][N];
return (double) ((double) kill / (double) all);
}
}
動態規劃（枚舉優化）
上述動態規劃解法中的第三個循環可以優化，再一次看下依賴關係圖
當我們得到綠色格子，即dp[times][hp]位置的值以後，如果要求dp[times+1][hp]位置的時候，即如下 target 位置
可以考慮 G 和 H 兩個位置
因爲 G 位置求的時候，紫色部分格子已經求過了，補上一個 H 位置，就可以把 target 求出來，省略了枚舉行爲。
完整代碼如下
public class Code_KillMonster {
public static double dp2(int N, int M, int K) {
if (N < 1 || M < 1 || K < 1) {
return 0;
}
long all = (long) Math.pow(M + 1, K);
long[][] dp = new long[K + 1][N + 1];
dp[0][0] = 1;
for (int times = 1; times <= K; times++) {
dp[times][0] = (long) Math.pow(M + 1, times);
for (int hp = 1; hp <= N; hp++) {
dp[times][hp] = dp[times][hp - 1] + dp[times - 1][hp];
if (hp - 1 - M >= 0) {
dp[times][hp] -= dp[times - 1][hp - 1 - M];
} else {
dp[times][hp] -= Math.pow(M + 1, times - 1);
}
}
}
long kill = dp[K][N];
return (double) ((double) kill / (double) all);
}
}