前言
我們刷leetcode的時候，經常會遇到動態規劃類型題目。動態規劃問題非常非常經典，也很有技巧性，一般大廠都非常喜歡問。今天跟大家一起來學習動態規劃的套路，文章如果有不正確的地方，歡迎大家指出哈，感謝感謝~
- 什麼是動態規劃？
- 動態規劃的核心思想
- 一個例子走進動態規劃
- 動態規劃的解題套路
- leetcode案例分析
公衆號：撿田螺的小男孩
什麼是動態規劃？
動態規劃（英語：Dynamic programming，簡稱 DP），是一種在數學、管理科學、計算機科學、經濟學和生物信息學中使用的，通過把原問題分解爲相對簡單的子問題的方式求解複雜問題的方法。動態規劃常常適用於有重疊子問題和最優子結構性質的問題。
★ dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.
”
以上定義來自維基百科，看定義感覺還是有點抽象。簡單來說，動態規劃其實就是，給定一個問題，我們把它拆成一個個子問題，直到子問題可以直接解決。然後呢，把子問題答案保存起來，以減少重複計算。再根據子問題答案反推，得出原問題解的一種方法。
★ 一般這些子問題很相似，可以通過函數關係式遞推出來。然後呢，動態規劃就致力於解決每個子問題一次，減少重複計算,比如斐波那契數列就可以看做入門級的經典動態規劃問題。
”
動態規劃核心思想
動態規劃最核心的思想，就在於拆分子問題，記住過往，減少重複計算。
我們來看下，網上比較流行的一個例子：
- A ： "1+1+1+1+1+1+1+1 =？"
- A ： "上面等式的值是多少"
- B ： 計算 "8"
- A : 在上面等式的左邊寫上 "1+" 呢？
- A : "此時等式的值爲多少"
- B : 很快得出答案 "9"
- A : "你怎麼這麼快就知道答案了"
- A : "只要在8的基礎上加1就行了"
- A : "所以你不用重新計算，因爲你記住了第一個等式的值爲8!動態規劃算法也可以說是 '記住求過的解來節省時間'"
”
一個例子帶你走進動態規劃 -- 青蛙跳階問題
暴力遞歸
★ leetcode原題：一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個 10 級的臺階總共有多少種跳法。
”
有些小夥伴第一次見這個題的時候，可能會有點蒙圈，不知道怎麼解決。其實可以試想：
★
- 要想跳到第10級臺階，要麼是先跳到第9級，然後再跳1級臺階上去;要麼是先跳到第8級，然後一次邁2級臺階上去。
- 同理，要想跳到第9級臺階，要麼是先跳到第8級，然後再跳1級臺階上去;要麼是先跳到第7級，然後一次邁2級臺階上去。
- 要想跳到第8級臺階，要麼是先跳到第7級，然後再跳1級臺階上去;要麼是先跳到第6級，然後一次邁2級臺階上去。
”
假設跳到第n級臺階的跳數我們定義爲f(n)，很顯然就可以得出以下公式：
f（10） = f（9）+f(8)
f (9) = f(8) + f(7)
f (8) = f(7) + f(6)
...
f(3) = f(2) + f(1)
即通用公式爲: f(n) = f(n-1) + f(n-2)
那f(2) 或者 f(1) 等於多少呢？
- 當只有2級臺階時，有兩種跳法，第一種是直接跳兩級，第二種是先跳一級，然後再跳一級。即f(2) = 2;
- 當只有1級臺階時，只有一種跳法，即f（1）= 1；
因此可以用遞歸去解決這個問題：
class Solution {
public int numWays(int n) {
if(n == 1){
return 1;
}
if(n == 2){
return 2;
}
return numWays(n-1) + numWays(n-2);
}
}
去leetcode提交一下，發現有問題，超出時間限制了
爲什麼超時了呢？遞歸耗時在哪裏呢？先畫出遞歸樹看看：
- 要計算原問題 f(10)，就需要先計算出子問題 f(9) 和 f(8)
- 然後要計算 f(9)，又要先算出子問題 f(8) 和 f(7)，以此類推。
- 一直到 f(2) 和 f(1），遞歸樹才終止。
我們先來看看這個遞歸的時間複雜度吧：
遞歸時間複雜度 = 解決一個子問題時間*子問題個數
- 一個子問題時間 = f（n-1）+f（n-2），也就是一個加法的操作，所以複雜度是 O(1)；
- 問題個數 = 遞歸樹節點的總數，遞歸樹的總節點 = 2^n-1，所以是複雜度O(2^n)。
因此，青蛙跳階，遞歸解法的時間複雜度 = O(1) * O(2^n) = O(2^n)，就是指數級別的，爆炸增長的，如果n比較大的話，超時很正常的了。
回過頭來，你仔細觀察這顆遞歸樹，你會發現存在大量重複計算，比如f（8）被計算了兩次，f（7）被重複計算了3次...所以這個遞歸算法低效的原因，就是存在大量的重複計算！
既然存在大量重複計算，那麼我們可以先把計算好的答案存下來，即造一個備忘錄，等到下次需要的話，先去備忘錄查一下，如果有，就直接取就好了，備忘錄沒有才開始計算，那就可以省去重新重複計算的耗時啦！這就是帶備忘錄的解法。
帶備忘錄的遞歸解法（自頂向下）
一般使用一個數組或者一個哈希map充當這個備忘錄。
- 第一步，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和f（8）都需要計算出來，然後再加到備忘錄中，如下：
- 第二步， f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 因爲 f(8) 已經在備忘錄中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要計算出來，加到備忘錄中~
第三步， f(8) = f（7）+ f(6),發現f(8)，f(7),f（6）全部都在備忘錄上了，所以都可以剪掉。
所以呢，用了備忘錄遞歸算法，遞歸樹變成光禿禿的樹幹咯，如下：
帶備忘錄的遞歸算法，子問題個數=樹節點數=n，解決一個子問題還是O(1),所以帶備忘錄的遞歸算法的時間複雜度是O(n)。接下來呢，我們用帶備忘錄的遞歸算法去擼代碼，解決這個青蛙跳階問題的超時問題咯~，代碼如下：
public class Solution {
//使用哈希map，充當備忘錄的作用
Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();
public int numWays(int n) {
// n = 0 也算1種
if (n == 0) {
return 1;
}
if (n <= 2) {
return n;
}
//先判斷有沒計算過，即看看備忘錄有沒有
if (tempMap.containsKey(n)) {
//備忘錄有，即計算過，直接返回
return tempMap.get(n);
} else {
// 備忘錄沒有，即沒有計算過，執行遞歸計算,並且把結果保存到備忘錄map中，對1000000007取餘（這個是leetcode題目規定的）
tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);
return tempMap.get(n);
}
}
}
去leetcode提交一下，如圖，穩了：
其實，還可以用動態規劃解決這道題。
自底向上的動態規劃
動態規劃跟帶備忘錄的遞歸解法基本思想是一致的，都是減少重複計算，時間複雜度也都是差不多。但是呢：
- 帶備忘錄的遞歸，是從f(10)往f(1）方向延伸求解的，所以也稱爲自頂向下的解法。
- 動態規劃從較小問題的解，由交疊性質，逐步決策出較大問題的解，它是從f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以稱爲自底向上的解法。
動態規劃有幾個典型特徵，最優子結構、狀態轉移方程、邊界、重疊子問題。在青蛙跳階問題中：
- f(n-1)和f(n-2) 稱爲 f(n) 的最優子結構
- f(n)= f（n-1）+f（n-2）就稱爲狀態轉移方程
- f(1) = 1, f(2) = 2 就是邊界啦
- 比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重疊子問題。
我們來看下自底向上的解法，從f(1)往f(10）方向，想想是不是直接一個for循環就可以解決啦，如下：
帶備忘錄的遞歸解法，空間複雜度是O(n)，但是呢，仔細觀察上圖，可以發現，f（n）只依賴前面兩個數，所以只需要兩個變量a和b來存儲，就可以滿足需求了，因此空間複雜度是O(1)就可以啦
動態規劃實現代碼如下：
public class Solution {
public int numWays(int n) {
if (n<= 1) {
return 1;
}
if (n == 2) {
return 2;
}
int a = 1;
int b = 2;
int temp = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
temp = (a + b)% 1000000007;
a = b;
b = temp;
}
return temp;
}
}
動態規劃的解題套路
什麼樣的問題可以考慮使用動態規劃解決呢？
★ 如果一個問題，可以把所有可能的答案窮舉出來，並且窮舉出來後，發現存在重疊子問題，就可以考慮使用動態規劃。
”
比如一些求最值的場景，如最長遞增子序列、最小編輯距離、揹包問題、湊零錢問題等等，都是動態規劃的經典應用場景。
動態規劃的解題思路
動態規劃的核心思想就是拆分子問題，記住過往，減少重複計算。 並且動態規劃一般都是自底向上的，因此到這裏，基於青蛙跳階問題，我總結了一下我做動態規劃的思路：
- 窮舉分析
- 確定邊界
- 找出規律，確定最優子結構
- 寫出狀態轉移方程
1. 窮舉分析
- 當臺階數是1的時候，有一種跳法，f（1） =1
- 當只有2級臺階時，有兩種跳法，第一種是直接跳兩級，第二種是先跳一級，然後再跳一級。即f(2) = 2;
- 當臺階是3級時，想跳到第3級臺階，要麼是先跳到第2級，然後再跳1級臺階上去，要麼是先跳到第 1級，然後一次邁 2 級臺階上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3
- 當臺階是4級時，想跳到第3級臺階，要麼是先跳到第3級，然後再跳1級臺階上去，要麼是先跳到第 2級，然後一次邁 2 級臺階上去。所以f(4) = f(3) + f(2) =5
- 當臺階是5級時......
2. 確定邊界
通過窮舉分析，我們發現，當臺階數是1的時候或者2的時候，可以明確知道青蛙跳法。f（1） =1，f(2) = 2，當臺階n>=3時，已經呈現出規律f(3) = f(2) + f(1) =3，因此f（1） =1，f(2) = 2就是青蛙跳階的邊界。
3. 找規律，確定最優子結構
n>=3時，已經呈現出規律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，因此，f(n-1)和f(n-2) 稱爲 f(n) 的最優子結構。什麼是最優子結構？有這麼一個解釋：
★ 一道動態規劃問題，其實就是一個遞推問題。假設當前決策結果是f(n),則最優子結構就是要讓 f(n-k) 最優,最優子結構性質就是能讓轉移到n的狀態是最優的,並且與後面的決策沒有關係,即讓後面的決策安心地使用前面的局部最優解的一種性質
”
4， 寫出狀態轉移方程
通過前面3步，窮舉分析，確定邊界，最優子結構，我們就可以得出狀態轉移方程啦：
5. 代碼實現
我們實現代碼的時候，一般注意從底往上遍歷哈，然後關注下邊界情況，空間複雜度，也就差不多啦。動態規劃有個框架的，大家實現的時候，可以考慮適當參考一下：
dp[0][0][...] = 邊界值
for(狀態1 ：所有狀態1的值){
for(狀態2 ：所有狀態2的值){
for(...){
//狀態轉移方程
dp[狀態1][狀態2][...] = 求最值
}
}
}
leetcode案例分析
我們一起來分析一道經典leetcode題目吧
★ 給你一個整數數組 nums ，找到其中最長嚴格遞增子序列的長度。
”
示例 1：
輸入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
輸出：4
解釋：最長遞增子序列是 [2,3,7,101]，因此長度爲 4 。
示例 2：
輸入：nums = [0,1,0,3,2,3]
輸出：4
我們按照以上動態規劃的解題思路，
- 窮舉分析
- 確定邊界
- 找規律，確定最優子結構
- 狀態轉移方程
1.窮舉分析
因爲動態規劃，核心思想包括拆分子問題，記住過往，減少重複計算。 所以我們在思考原問題：數組num[i]的最長遞增子序列長度時，可以思考下相關子問題，比如原問題是否跟子問題num[i-1]的最長遞增子序列長度有關呢？
自頂向上的窮舉
這裏觀察規律，顯然是有關係的，我們還是遵循動態規劃自底向上的原則，基於示例1的數據，從數組只有一個元素開始分析。
- 當nums只有一個元素10時，最長遞增子序列是[10],長度是1.
- 當nums需要加入一個元素9時，最長遞增子序列是[10]或者[9],長度是1。
- 當nums再加入一個元素2時，最長遞增子序列是[10]或者[9]或者[2],長度是1。
- 當nums再加入一個元素5時，最長遞增子序列是[2,5],長度是2。
- 當nums再加入一個元素3時，最長遞增子序列是[2,5]或者[2,3],長度是2。
- 當nums再加入一個元素7時，,最長遞增子序列是[2,5,7]或者[2,3,7],長度是3。
- 當nums再加入一個元素101時，最長遞增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101],長度是4。
- 當nums再加入一個元素18時，最長遞增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],長度是4。
- 當nums再加入一個元素7時,最長遞增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],長度是4.
分析找規律，拆分子問題
通過上面分析，我們可以發現一個規律：
如果新加入一個元素nums[i], 最長遞增子序列要麼是以nums[i]結尾的遞增子序列，要麼就是nums[i-1]的最長遞增子序列。看到這個，是不是很開心，nums[i]的最長遞增子序列已經跟子問題 nums[i-1]的最長遞增子序列有關聯了。
原問題數組nums[i]的最長遞增子序列 = 子問題數組nums[i-1]的最長遞增子序列/nums[i]結尾的最長遞增子序列
是不是感覺成功了一半呢？但是如何把nums[i]結尾的遞增子序列也轉化爲對應的子問題呢？要是nums[i]結尾的遞增子序列也跟nums[i-1]的最長遞增子序列有關就好了。又或者nums[i]結尾的最長遞增子序列，跟前面子問題num[j]（0=<j<i）結尾的最長遞增子序列有關就好了，帶着這個想法，我們又回頭看看窮舉的過程：
nums[i]的最長遞增子序列，不就是從以數組num[i]每個元素結尾的最長子序列集合，取元素最多（也就是長度最長）那個嘛，所以原問題，我們轉化成求出以數組nums每個元素結尾的最長子序列集合，再取最大值嘛。哈哈，想到這，我們就可以用dp[i]表示以num[i]這個數結尾的最長遞增子序列的長度啦，然後再來看看其中的規律：
其實，nums[i]結尾的自增子序列，只要找到比nums[i]小的子序列，加上nums[i] 就可以啦。顯然，可能形成多種新的子序列，我們選最長那個，就是dp[i]的值啦
★
- nums[3]=5,以
5結尾的最長子序列就是[2,5],因爲從數組下標0到3遍歷，只找到了子序列[2]比5小，所以就是[2]+[5]啦，即dp[4]=2 - nums[4]=3,以
3結尾的最長子序列就是[2,3],因爲從數組下標0到4遍歷，只找到了子序列[2]比3小，所以就是[2]+[3]啦，即dp[4]=2 - nums[5]=7，以
7結尾的最長子序列就是[2,5,7]和[2,3,7],因爲從數組下標0到5遍歷，找到2,5和3都比7小，所以就有[2,7],[5,7],[3,7],[2,5,7]和[2,3,7]這些子序列，最長子序列就是[2,5,7]和[2,3,7]，它倆不就是以5結尾和3結尾的最長遞增子序列+[7]來的嘛！所以，dp[5]=3 =dp[3]+1=dp[4]+1。
”
很顯然有這個規律：一個以nums[i]結尾的數組nums
- 如果存在j屬於區間[0，i-1],並且num[i]>num[j]的話，則有，dp(i) =max(dp(j))+1，
最簡單的邊界情況
當nums數組只有一個元素時，最長遞增子序列的長度dp(1)=1,當nums數組有兩個元素時，dp(2) =2或者1， 因此邊界就是dp(1)=1。
確定最優子結構
從窮舉分析，我們可以得出，以下的最優結構：
dp(i) =max(dp(j))+1，存在j屬於區間[0，i-1],並且num[i]>num[j]。
max(dp(j)) 就是最優子結構。
狀態轉移方程
通過前面分析，我們就可以得出狀態轉移方程啦：
所以數組num[i]的最長遞增子序列就是：
最長遞增子序列 =max(dp[i])
代碼實現
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
if (nums.length == 0) {
return 0;
}
int[] dp = new int[nums.length];
//初始化就是邊界情況
dp[0] = 1;
int maxans = 1;
//自底向上遍歷
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
dp[i] = 1;
//從下標0到i遍歷
for (int j = 0; j < i; j++) {
//找到前面比nums[i]小的數nums[j],即有dp[i]= dp[j]+1
if (nums[j] < nums[i]) {
//因爲會有多個小於nums[i]的數，也就是會存在多種組合了嘛，我們就取最大放到dp[i]
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
//求出dp[i]後，dp最大那個就是nums的最長遞增子序列啦
maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
}
return maxans;
}
}