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1. [Celeste-B]Golden Feather
題意:
- 給定點 \(1,2,\cdots,n\), 點 \(k\) 的點權 \(w_k=k(k+2)\), 邊權 \(d(x,y)=\gcd(w_x,w_y)\).
- 求這個完全圖的最小生成樹的邊權和.
- 數據範圍 \(1\leqslant n\leqslant10^{18}\).
評價: 離譜題.
結論: \(n=4\) 時答案爲 \(5\), \(n=10\) 時答案爲 \(11\), 剩餘情況答案爲 \(n-1\).
證明的話情況過於複雜, 不寫了.
2. 簽到題
題意: 求 \(\sum\limits_{k=l}^r(k-\varphi(k))\bmod 666623333\), \(1\leqslant l\leqslant r\leqslant10^{12}, r-l\leqslant10^6\).
區間篩出來素數然後用積性函數的性質隨便搞搞就做完了(
3. [Violet]櫻花
題意: 求不定方程 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{n!}\) 的正整數解組數. \(1\leqslant n\leqslant 10^6.\)
套路題, 隨便化一下即有 \((x-n!)(y-n!)=(n!)^2\), 右邊是經典的階乘質因數分解, 然後用約數個數公式就完事了.
4. The Neutral Zone
題意:
- 定義 \(\text{exlog}_f(p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k})=a_1f(p_1)+\cdots+a_kf(p_k), f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\).
- 求 \(\sum_ {i=1}^n\text{exlog}_f(i)\).
- 數據範圍 \(1\leqslant n\leqslant3\times10^8, 0\leqslant A,B,C,D\leqslant10^6\), 空間限制 \(18\text{MiB}\).
顯然那個式子就是 \(\text{exlog}_f(n!)\), 然後階乘質因數分解就......做完了?
注意空間限制. \(3\times10^8\) 的數組根本存不下.
但是我們使用傳統藝能區間篩, 只開 \(O(\sqrt{n})\) 的空間, 剩下的邊算邊計入答案就做完了.
5. 因子和
題意: 求 \(\sigma(a^b)\bmod 9901\), \(0\leqslant a,b\leqslant 5\times10^7\).
分解質因數套個公式得答案爲 \(\prod\dfrac{p_k^{c_k+1}-1}{p_k-1}\). 但是你發現這個模數太小了逆元可能不存在.
兩種處理方法. 一種是注意到逆元不存在時 \(p_k\bmod9901=1\), 於是直接得到上面式子的值.
另一種方法是完全不依賴於逆元, 分治求出等比數列和.
具體地, 記 \(S_n=1+p+\cdots+p^n\), 當 \(n\bmod2=1\) 時有 \(S_n=(1+p^{\lceil n/2\rceil})S_{\lfloor n/2\rfloor}\). \(n\bmod2=0\) 同理.
6. [SDOI2008] 沙拉公主的困惑
題意: 求 \([1,N!]\) 中和 \(M!\) 互質的數的個數. 數據範圍 \(1\leqslant M\leqslant N\leqslant 10^7\).
我們發現 \(M!|N!\), 並且答案顯然爲 \(\dfrac{N!}{M!}\varphi(M!)=N!\dfrac{\prod(p_k-1)}{\prod p_k}\).
然後就能算了, 注意模數還是可能很小, 分子分母算答案的時候不要把模數乘上.
7. [PA2011]Prime prime power 質數的質數次方
題意: 對於給定的數 \(n\), 求第 \(k\) 小的 \(a^b\) (\(a,b\) 都爲質數), 使得它的值大於 \(n\). \(1\leqslant n\leqslant 10^{18}, 1\leqslant k\leqslant10^5\).
8. 「MCOI-02」Convex Hull 凸包
題意: 計算 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\tau(i)\tau(j)\tau(\gcd(i,j))\), \(1\leqslant n,m\leqslant 2\times10^6,1 \leqslant p\leqslant 10^9\).
用不着莫反.
9. [POI2012]ROZ-Fibonacci Representation
題意: 給一個 \(10^{17}\) 以內的數，問最少可以用幾個斐波那契數加加減減湊出來.
簡單題.
10. [NOIP2005 普及組] 循環
11. 圓點
題意: 求 \(\sum\limits_{x=0}^{\sqrt{R}}\sum\limits_{y=0}^{\sqrt{R}}[x^2+y^2\leqslant R]\). \(R\leqslant 10^{14}\).
還是簡單題.
12. [HAOI2008]圓上的整點
題意: 求一個給定的圓 \(x^2+y^2=r^2\) 在圓周上有多少個點的座標是整數. (\(r\leqslant 2\times10^9\))
結論題.
13. PRIMES2 - Printing some primes (Hard)
題意: 求出所有小於 \(10^9\) 的質數.
埃氏篩優化, Wheel Factorization. 前面 The Neutral Zone 那題就有類似思想.