數論筆記6-一元一次同餘方程(組)

1. 同餘方程的基本認識與一元一次同餘方程

設 \(f(x)=\sum\limits_{j=0}^na_jx^j\). 我們稱 \(f(x)\equiv0\pmod m\) 爲 (多項式) 同餘方程.
若有整數 \(c\) 滿足 \(f(c)\equiv0\pmod m\), 稱 \(c\) 爲同餘方程的一個解. 顯然此時 \(c\bmod m\) 中的任意數都是解, 我們將這些解統一記爲 \(x\equiv c\pmod m\).
我們稱對 \(m\) 兩兩不同餘的解的個數爲同餘方程的解數, 記作 \(T(m;f)\) (之後我們也會簡稱有 \(T(m;f)\) 個解). 容易發現, 我們只需要在一組完全剩餘系中求解即可, 解數至多爲 \(m\).
另外顯然多項式中係數模 \(m\) 爲 \(0\) 的項對解方程沒有意義, 所以同餘方程的次數指的是係數模 \(m\) 不爲 \(0\) 的最高次.

爲了解同餘方程, 我們有時會用同餘式的性質對其進行等價變形. 列舉如下 (都是顯然的)

1. \(f(x)\equiv0\pmod m\Lrarr f(x)+ms(x)\equiv0\pmod m\)
2. \(f(x)\equiv0\pmod m \Lrarr f(x)+s(x)\equiv s(x)\pmod m\)
3. \(f(x)\equiv0\pmod m\Lrarr af(x)\equiv0\pmod m,(a,m)=1\)
4. 設 \(h(x)\equiv0\pmod m, f(x)≣q(x)h(x)+r(x)\pmod m\), 則 \(f(x)\equiv0\pmod m\Lrarr r(x)\equiv 0\pmod m\).

最後一條是很有用的. 對素數模由費馬小定理取 \(h(x)=x^{m-1}-1\) 有時可以有效化簡式子.

另外還有一條常用結論 (顯然):

5. \(f(x)\equiv0\pmod m\) 有解 \(\Rarr f(x)\equiv0\pmod d,d|m\) 有解.

這還啓發我們可以通過解後面的方程得到解 \(x_0\), 再用 \(x=x_0+kd\) 代入前面的方程進行驗證得到所有解. 7.1 中即有應用.

接下來討論最簡單的一元一次同餘方程, 即:

\[ax\equiv b\pmod m,m\nmid a \]

首先容易發現, 若 \((a,m)=1\), 原方程有且只有一個解.
因爲此時必存在逆元 \(a^{-1}\), 則 \(x\equiv a^{-1}b\pmod m\) 即爲一組解. 容易證明不會有其它的解.

對於其它情況, 我們只需將方程化爲不定方程的形式:

\[ax_0+my_0=b \]

這樣我們就輕鬆得出了有解的一個必要條件是 \((a,m)|b\). 事實上, 這也是一個充分條件, 即下面的定理:

6. 原方程有解的充分必要條件是 \((a,m)|b\), 且有解時解數爲 \((a,m)\).

要證明充分性, 最簡單的做法是直接將 \((a,m)\) 這個因子去掉:

\[\dfrac{a}{(a,m)}x\equiv\dfrac{b}{(a,m)}\left(\bmod{\dfrac{m}{(a,m)}}\right) \]

我們知道 \(\left(\dfrac{a}{(a,m)},\dfrac{m}{(a,m)}\right)=1\), 這正是之前討論過的情況. 解出 \(x\equiv x_0\left(\bmod{\dfrac{m}{(a,m)}}\right)\) 即可.
注意到我們這是在模 \(\dfrac{m}{(a,m)}\) 下的結果, 我們還要把模還原回去. 運用 5.2.8 剩餘系的式子即有

\[x\equiv x_0+\dfrac{m}{(a,m)}t\pmod m,\quad t=0,\cdots,(a,m)-1 \]

2. 一元一次同餘方程組

接下來我們討論一元一次同餘方程組.
一元一次同餘方程組的一般形式如下:

\[x\equiv a_j\pmod {m_j}\quad (1\leqslant j\leqslant k) \]

首先我們對 \(m_j\) 進行素因子分解, 將模化爲素數冪. 對每個素數我們取最高次 \(p_j^{\alpha_j}\):

\[x\equiv t\pmod{p_j^{\alpha_j}} \]

根據 1.5,

\[x\equiv t\pmod{p_j^l},\quad l\leqslant\alpha_j \]

所以我們只需要對低次的進行驗證即可. 於是問題轉化爲了 \(m_j\) 兩兩互質的情況. 此時我們就有中國剩餘定理:

1. 設 \(m=m_1\cdots m_k, M_j=m/m_j, M_jM_j^{-1}\equiv1\pmod{m_j}\), 則原方程有唯一解 \(x\equiv \sum\limits_{j=1}^kM_jM_j^{-1}a_j\pmod m\).

解的構造思路其實就是找到 \(x_j=M_jM_j^{-1}a_j\), 使其滿足

\[x_j\equiv a_j\pmod {m_j},\quad x_j\equiv 0\pmod{m_i}, i\neq j \]

所有的 \(x_j\) 組合起來就得到了原方程的解.

解的唯一性是顯然的, 因爲每個同餘方程的解都是唯一的, 由 5.1.9 易得.

解一元一次同餘方程組實質上是一個求剩餘系的交的問題. 根據中國剩餘定理和 5.2.18, 容易證明:

2. 沿用上面的符號, 設 \(x=\sum\limits_{j=1}^kM_jM_j^{-1}x^{(j)}\), \(x^{(j)}\) 通過模 \(m_j\) 的完全/既約剩餘系. 則:
   • \(\bigcap\limits_{j=1}^kx^{(j)}\bmod{m_j}=x\bmod m\)
   • \(x\) 通過模 \(m\) 的完全/既約剩餘系.