面積（測度）
我們在一元時已經建立了定積分的概念，並用“曲邊梯形的面積”這一幾何意義來理解它。我們知道定積分其實是Riemann和的極限，那麼我們很容易自然地把它推廣到多元函數——二元函數的積分應當表示“曲頂主體的體積”等等。
我們在推廣時遇到的第一個問題在於多元下的“劃分”該如何定義。在給一元函數積分時，我們把自變量劃分成小段的區間，那麼二元函數就要把自變量劃分成小塊的面積，三元要劃分成小體積……而“面積”這個概念事實上是還沒有被定義的——儘管我們已經定義出“曲邊梯形的面積”，但這種情況是很特殊的。曲邊梯形終究依賴於一個Riemann可積的函數，因此這首先要求這個函數幾乎處處連續。我們想更一般地定義“任何一個平面點集”的面積，以免在以後的討論中碰到麻煩。面積的定義其實是重積分中最核心的部分了。
首先我們很容易接受把\(\R^2\)上的矩形\([a,b] \times [c,d]\)的面積定義爲\((b-a)(d-c)\)。它就好像二維空間上的“區間”一樣（更高維的情形也類似）。那麼對於\(\R^2\)上的任何一個點集\(D\)，既然能求面積那就一定有界，我們可以找到一個足夠大的矩形覆蓋它。不斷給這個大矩形增加橫着的和豎着的劃分，會形成一系列小矩形。把所有和\(D\)有交集的矩形面積加起來（被我們討論的一定是有限個，因此做加法是完全沒有問題的）記爲\(mA\)，把所有被完全包含在點集內的小矩形之和（即矩形的所有點都屬於集合\(D\)）的記爲\(mB\)。隨着劃分的加細，\(mA\)不增，\(mB\)不減。如果當劃分趨向無窮細的時候\(mA=mB\)，那這個值就稱爲\(D\)的面積，否則，就稱\(D\)不可求面積。（劃分趨向無窮細這一說法符合直覺但不嚴格，正確的表述是對於所有可能的劃分取\(mA\)的下確界，\(mB\)的上確界）
用矩形來定義面積其實並不是最好的策略，因爲它依賴於\(\R^2\)這樣性質很好的背景。
通過這樣的面積定義方式，我們可以看到一個“可求面積”的點集在無限加細以後，恰好覆蓋在邊界點上的所有矩形大小之和一定爲0，否則\(mA\)就永遠無法等於\(mB\)了。當然這也是不嚴格的理解，事實上有結論：點集可求面積當且僅當對於任何\(\varepsilon>0\)，都存在有限個矩形能覆蓋\(D\)的所有邊界點，且這些矩形的面積之和小於\(\varepsilon\)。我們稱這樣能被面積之和無窮小的有限個矩形覆蓋的點集爲“零面積集”，這是Jordan測度中的定義，與以往的Lebesgue測度不同，因爲Lebesgue測度中是用“可數個”去覆蓋而不是“有限個”，後者對應的是零測集。當我們說一個點集面積爲0時，指的是Jordan測度爲0。Lebesgue測度爲0，卻有可能不可求面積——例如\([0,1]\times[0,1]\)中的有理點構成的點集， 由於有理數的稠密性每個點都是邊界點，因此邊界集面積不爲0所以不可求面積，但有理點的數量遠小於無理點的數量，它的Lebesgue測度顯然爲0。
對於連續函數（顯函數），我們的分劃有取上確界爲\(\xi\)和下確界爲\(\xi\)兩種選點方式，這兩種選點得到的面積之差就是一系列小矩形，他們恰好覆蓋了這條連續函數。由於連續函數Riemann可積，這些小矩形面積之和一定爲0，而對於\(\forall \varepsilon>0\)分劃的個數一定是有限個，因此矩形也是有限個，所以我們證明了連續曲線是零面積的。由此可以推出，由有線條連續函數（顯函數）所圍成的區域一定是可求面積的。
更高維中的“矩形面積”的定義方式與上述方式完全類似，我們稱之爲“\(n\)維區間的測度”。
重積分
有了面積的定義，我們就可以仿照一元的定積分給出重積分的概念。積分就是分劃+選點。對於給定的區域\(D\)（我們要求它是可求面積的），我們把它分爲\(n\)個無向無交集的小區域\(\Delta D_i\)，並讓這\(n\)個區域的並集恰好等於\(D\)，這就是一個分劃。爲這種分劃的選取是任意的，我們並不要求\(\Delta D_i\)是連通的，或者任何其他我們直觀上賦予它的要求。爲了向一元定積分一樣體現出分劃的無窮加細，我們要求所有區域中最大的那個小於一個趨向無窮小的值。但這裏我們不用面積來衡量區域大小，因爲我們已經發現一個零面積有可能佔據了相當大的一部分區域（例如連續曲線），我們用“直徑”\(\|\Delta\|\)來衡量區域的大小，直徑\(\|\Delta\|\)定義爲點集中任意兩點間距離（度量）的上確界。
以二元爲例，在每個區域中任意選點，得到Riemann和\(\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i\)（\(\Delta \sigma_i\)表示\(\Delta D_i\)的面積）。那麼重積分就定義爲
\(\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\|\Delta\| \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i\)
這個定義也可以推廣到多維。
可積的等價條件
同樣的，以重積分的定義方式是無法判斷可積性的。而我們已經注意到，我們在定義重積分的時候只是在逐字逐句重複一元定積分的過程，因此可積性的等價條件也和一元完全相同。我們也可以由選點的上確界和下確界定義出Darboux大和與Darboux小和，在加細過程中大和不增，小和不減，證明可積等價於大和的下確界等於小和的上確界。由此得到可積等價於對於任意分劃振幅之和任意小，再把這個結論推廣到對於任意\(\varepsilon>0\)只需要存在一個分劃使得振幅之和任意小。最後得到大定理——Lebesgue準則：\(f\)可積當且僅當\(f\)的不連續點爲Lebesgue零測集。
重積分的性質
重積分的性質也是和一元定積分一致的，證明也完全相同：
- 線性性（積分是線性泛函）
- “區間”可加性
- 保號性（單調性）
- 絕對可積性
- 乘積可積性
- 中值定理\(\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta) \cdot mD\)
二重積分的計算
到目前爲止，重積分的可積性理論和性質都與一元情形完全一致，並沒有什麼新的東西。而在重積分的計算上卻沒有這種一致性，原因在於我們對一元積分的計算依賴於Newton-Leibniz公式，而在重積分中卻沒有類似的公式。因此在計算重積分的時候（除了用定義直接計算的情況以外），必須用方法把它重新轉化爲一元的問題。
二重積分的計算問題都可以還原到計算曲頂柱體的體積的問題。我們直覺是就可以接受（其實我們在一元的時候就已經不自覺地這麼用了），我們可以先固定一個\(x_0\)，把\(x_0\)對應的“截面積”用一個新的函數\(A(x_0)\)表示，這個函數是關於\(y\)的一個一元定積分，然後我們再把\(A(x)\)關於\(x\)積分，也就是我們期待：
\(\displaystyle\iint\limits_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)d\sigma=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx\)
這裏我們默認了積分區間是一個矩形，對於不是矩形的情況，我們可以把矩形補全，並給區間外的部分填上0。這樣的填補可能產生新的不連續點，但顯然這些不連續點只會出現在\(D\)的邊界點上。由於\(D\)是可求面積的，邊界點一定是零測集（即使在Lebesgue測度意義下），所有總的不連續點的個數依然爲零測集，所以新的函數依然是可積的，並且結果一定與我們想要的相同。
我們來證明這個期待是成立的。右式只涉及定積分，所以對\(x,y\)做分劃，得到\(\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx =\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\left[\sum\limits_{j=1}^{m}\displaystyle\int_{y_j}^{y_{j+1}}f(\xi_i,y)dy\right]\Delta x_i\)，在每個定積分中分別給\(y\)取\(f\)在區間中的上確界和下確界，得
\(\sum\limits_{j=1}^{m}\inf f(\xi_i,y) \Delta y_j \leq \sum\limits_{j=1}^{m}\displaystyle\int_{y_j}^{y_{j+1}}f(\xi_i,y)dy \leq \sum\limits_{j=1}^{m}\sup f(\xi_i,y) \Delta y_j\)
同樣地，待會原式後對\(x\)也用上確界和下確界放縮，得到
\(\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\inf f(x,y) \Delta x_i\Delta y_j \leq \displaystyle\int_{a}^{b}\left[\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right]dx \leq \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sup f(x,y) \Delta x_i\Delta y_j\)
這樣我們就成功用Darboux大和與Darboux小和來夾逼它了，因此它必須等於重積分。
這個過程稱爲“化二重積分爲二次積分”。如果把\(x\)和\(y\)的順序交換也是可行的，這可以依據計算的方便程度來選擇。
儘管我們在計算重積分的時候先做這樣的轉化再看結果，而不會預先判斷這樣的轉換是否是“可能的”。但必須指出，二重積分和二次積分的存在性之間並不能互相保證。Riemann函數的反例告訴我們二重積分存在並不意味着二次積分存在，而二元的Dirichlet函數卻告訴我們二次積分存在並不意味着二重積分存在。但如果我們能夠分別驗證二重積分存在和二次積分存在（每一個定積分都存在），那麼就可以放心做上面這樣的轉化。