ADK模型是一種描述原子或分子在強場中隧穿電離的理論模型，它基於漸進展開係數和隧穿概率的計算。自由電子在電磁場中加速，會受到電場和磁場的作用，其運動方程可以寫爲：
\[\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{p}}{m}\times\mathbf{B})-\frac{\mathbf{p}}{\tau}
\]
其中\(\mathbf{p}\)是電子的動量，\(q\)是電荷量，\(m\)是質量，\(\tau\)是弛豫時間，\(\mathbf{E}\)和\(\mathbf{B}\)是電場和磁場。如果電場和磁場都是沿着\(z\)軸方向的，那麼運動方程可以化簡爲：
\[\frac{dp_z}{dt}=qE-\frac{p_z}{\tau}
\]
\[\frac{dp_x}{dt}=qB\frac{p_y}{m}-\frac{p_x}{\tau}
\]
\[\frac{dp_y}{dt}=-qB\frac{p_x}{m}-\frac{p_y}{\tau}
\]
要知道不同時刻的電離速率和電子剩餘能，我們需要求解這些微分方程，並利用ADK模型給出的隧穿概率公式：
\[W_{nl}(t)=\frac{(2qE)^{2n-l-1}}{(2n)!(n-l-1)!}\left(\frac{2(2qE)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)^{2n-l+1}\exp\left(-\frac{2(2qE)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)
\]
其中\(n\)和\(l\)是電子的主量子數和角量子數，\(E\)是電場強度。電離速率就是隧穿概率乘以單位時間內的碰撞次數，即：
\[R_{nl}(t)=W_{nl}(t)\frac{1}{\tau}
\]
電子剩餘能就是電子在隧穿後的動能，即：
\[E_{nl}(t)=\frac{\mathbf{p}^2(t)}{2m}-I_{nl}
\]
其中\(I_{nl}\)是原子或分子的電離能。要計算電子平均剩餘能，我們需要對所有可能的\(n\)和\(l\)以及所有可能的時間進行求和或積分，併除以總的電離速率，即：
\[\bar{E}(t)=\frac{\sum_{n,l}E_{nl}(t)R_{nl}(t)}{\sum_{n,l}R_{nl}(t)}=\frac{\int_0^t E(t')R(t')dt'}{\int_0^t R(t')dt'}
\]