現在開始討論一個新的課題：從“物質由大量原子組成，它們之間存在着電相互作用，並遵從力學定律”這種物理觀點出發，我們企圖瞭解爲什麼不同的原子集合會表現出它們所具有的特色。這是一個困難的課題，它和力學和電學有着很大的不同：在學習力學和電學的過程中，我們能夠從某些基本定律出發本質地理解一大批現象，再以這些現象爲基礎瞭解更多的東西，換言之我們只是在學習用以更好處理問題的數學方法。而研究物質的性質時，一方面現象與定律之間相隔太遠，儘管每一步的分析我們都儘量做到精確，而最後的結果卻越來越不精確；另一方面，從經典物理學定律出發推到的結論很多時候在根本上就是不正確的，因爲原子的行爲遵循的實際上是量子力學規律；同時，對這些現象的分析需要對概率論有深刻的瞭解，因此我們只是着重從重要的地方出發作近似，對這些現象有個大致的瞭解。
壓強
我們談論的“壓強”本質上是分子運動撞擊物體產生的力。爲了定量對這種現象做出分析，我們設想有一個容器，容器裏充滿氣體分子，右端是一個活塞。如果不在活塞上施加一個力\(F\)，活塞就會因爲受氣體分子的撞擊而運動。當\(F\)的大小恰好使得活塞平衡時，我們就可以用\(F\)來表示氣體分子的撞擊力了，因爲它們二者相等。
表示力的一種方法是考察每單位面積上的力。我們可以接受，活塞上受力應當是均勻的，因此我們可以用這個單位面積上的力\(\dfrac{F}{S}\)來表示活塞受到的力，這就定義爲壓強\(P\)。
還可以從做功的角度來理解這個定義。根據\(dW=-Fdx\)，代入\(F=PS\)，就得到\(dW=-PSdx\)，而在我們的模型裏\(Sdx=dV\)，因此\(dW=-PdV\)。即壓強乘以體積的變化量等於做功。
現在我們想建立壓強與分子運動之間的聯繫。我們認爲分子和活塞的碰撞是彈性碰撞。這是合理的，因爲否則我們就會產生額外的能量，而在我們設定的平衡條件下氣體有穩定的運動狀態，活塞也沒有損耗能量。在三維空間中，與活塞發生彈性碰撞的氣體分子只在一個座標方向上（不妨設爲\(x\)）速度反向，其它速度不變，因此動量變化量爲\(2mv_x\)。考慮很短的一段時間\(\Delta t\)，只有在\(x\)方向上與活塞相距\(v_x\Delta t\)內的分子纔會打到活塞上。設單位體積內分子數爲\(n\)，計算出活塞受到的衝量爲\(F\Delta t=n v_x \Delta t S m(2v_x)\)。解得\(P=2nmv_x^2\)。可是並非所有分子的\(v_x\)都相同，因此我們需要取平均值——首先，只有一半的分子是從左往右運動的，還有一半運動方向相反，因此一定不會打到活塞上，因此我們需要除一個因子2。其次考慮向右運動的分子的\(v_x\)，由於分子的運動是四面八方的，它沒有理由特別青睞某一個方向，因此各個方向上的平均速度都應當相等， 因此\(\lang v_x^2\rang=\lang v_y^2\rang=\lang v_z^2\rang\)，因此\(\lang v_x^2 \rang=\dfrac{1}{3}\lang v^2 \rang\)。這樣代入就得到\(P=\dfrac{1}{3}nm\lang v^2 \rang\)。由於單個分子的動能是\(\dfrac{1}{2}mv^2\)，因此我們可以把壓強表示成\(P=\left(\dfrac{2}{3}\right)n\left\langle\dfrac{1}{2}mv^2\right\rangle\)。
如果氣體分子是單原子分子，那麼平均動能\(\left\langle\dfrac{1}{2}mv^2\right\rangle\)乘以總原子數就是該氣體的全部能量，因爲每個分子內部沒有其餘內部的能量了。我們把這個總能量記爲\(U\)，並把\(n\)表示爲總原子數除以總體積\(\dfrac{N}{V}\)，就得到壓強和能量的關係\(PV=\dfrac{2}{3}U\)。這裏的係數2來自動能，它是積分的結果；係數3來自我們空間的維數是3。
如果我們把活塞緩慢往裏推，始終保持活塞平衡，那麼外力\(F\)將做功，根據壓強的定義\(dW=-PdV\)。假設外力做功把能量全部轉化爲氣體內部原子的能量（這個過程稱爲絕熱過程，當然我們還沒定義什麼是“熱”，我們現在就把“熱”等同地理解爲氣體的總能量（內能）；絕熱過程是我們設想的理想情況，在現實中分子的撞擊會帶動容器壁的運動，從而帶動容器外的分子運動，這樣能量就耗散出去了），那麼\(dW\)就加在\(U\)上，\(dU=-PdV\)，而\(\dfrac{2}{3}U=PV\)。這樣我們就寫出了一個微分方程：\(\dfrac{2}{3}dU=d(PV)\)，即\(-\dfrac{2}{3}PdV=VdP+PdV\)。爲了更一般地討論這個方程，我們記\(\gamma-1=\dfrac{2}{3}\)，那麼我們的方程就是\(-(\gamma-1)PdV=VdP+PdV\)，分離變量得\(-\dfrac{\gamma dV}{V}=\dfrac{dP}{P}\)，積分得\(-\gamma\ln V=\ln P+C\)，得\(PV^{\gamma}=C'\)：在絕熱過程中壓強和體積的\(\gamma\)次方的乘積爲定值。在單原子分子的情形中，\(\gamma=\dfrac{5}{3}\)，因此\(PV^{\frac{5}{3}}\)爲定值。人們已經用實驗驗證過確實如此。
\(P=\dfrac{1}{3}nm\lang v^2 \rang\)可以寫成動量的形式\(P=\dfrac{1}{3}n\lang p \cdot v\rang\)，這樣我們就可以討論“光子”這樣的物質的壓強了。太陽還不夠熱，其中仍有太多的原子。在更熱的恆星中，我們可以忽略原子，認爲唯一的客體就是光子。對光子來說，\(p \cdot v = mc^2=E\)，因此壓強的式子寫作\(PV=\dfrac{1}{3}U\)，在這裏\(\gamma = \dfrac{4}{3}\)，因此對於光子的絕熱過程來說\(PV^{\frac{4}{3}}\)是定值。這就是輻射的壓縮性，是我們用來分析恆星上輻射壓強貢獻的關係式。
溫度
在壓縮氣體的時候，分子的能量增加，我們的日常語言通常把這種現象描述爲“氣體變熱了”。“變熱”這一事實指的是物體“溫度升高”。但什麼是溫度呢？經驗表明，當我們使一個“熱的東西”和一個“冷的東西”接觸足夠長的時間以後，它們最終會到達“相同溫度”的狀態——“溫度高的東西”會將“熱量”向“溫度低的物體”傳遞，哪怕它本身具有的能量是更低的。把一個微小的火苗靠近一座冰山，結果是火苗的溫度降低，冰山的溫度升高，但顯然冰山由於分子衆多應當具有更大的能量。日常經驗說明有“溫度”這樣一個量存在。那麼溫度到底度量的是分子層面的什麼呢？
設想一個封閉容器的中間有一個活塞，活塞的兩邊是兩種不同的氣體。這是爲了類比兩個接觸的物體。那麼“溫度的相同”就反應爲“活塞平衡”，如果溫度不同活塞就要運動，直到最後建立起一個平衡。活塞的平衡等價於兩邊氣體壓強相同，即\(P_1=\left(\dfrac{2}{3}\right)n_1\left\langle\dfrac{1}{2}m_1v_1^2\right\rangle=\left(\dfrac{2}{3}\right)n_2\left\langle\dfrac{1}{2}m_2v_2^2\right\rangle\)，化簡得到\(n_1\left\langle \dfrac{1}{2}m_1v_1^2\right\rangle=n_2\left\langle \dfrac{1}{2}m_2v_2^2\right\rangle\)。這個平衡有沒有可能是\(n_1>n_2\)，而\(\left\langle \dfrac{1}{2}m_1v_1^2\right\rangle<\left\langle \dfrac{1}{2}m_2v_2^2\right\rangle\)形成的呢？如果是這樣，那麼活塞受到的是一種不穩當的壓力——撞擊不是絕對均勻的，左邊原子較多而能量較小，發生的是頻繁的小撞擊，而右邊原子較少能量較大，發生的是緩慢的大撞擊——這樣的撞擊會導致活塞產生晃動，這種晃動將影響兩側氣體的運動，換言之它引起了兩邊氣體的能量交換，直到達到某種平衡，在單位時間內兩邊的能量交換是相等的。我們最終會證明，達到平衡時兩邊的平均動能是相等的，因此必須要求兩邊的原子數是一樣多的，不然活塞就永遠不可能平衡。
這是一個困難的問題。我們先來分析另一個問題，假設我們把兩種氣體放進同一個容器。那麼顯然，如果其中一個氣體的所有分子都靜止而另一種氣體的所有分子都運動，那麼碰撞會使得原來靜止的氣體分子動起來；如果一種氣體的分子動的全都比另一種快，那麼一會兒後慢的氣體也會快起來。我們想要分析的是平衡時它們的速度會是怎麼樣的。這依然是一個困難的問題。我們這樣來分析：在研究彈性碰撞的時候我們證明過相對兩個物體的質心，碰撞前後物體的速度只改變方向不改變大小。氣體分子的碰撞不一定是對心碰撞，碰撞後它們保持原先的速率可能飛向任何方向。因此我們選取某個特定的點，質心保持在這個點上靜止的任意兩個分子在空間中沿所有方向運動的概率都是相等的。而在實際情況中，任意兩個分子的質心不一定是靜止的，因此速度需要疊加上質心的速度\(v_{CM}=\dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\)。此時結論變成了“兩個分子的相對速度方向相對於質心的速度\(v_{CM}\)在任何方向上都是相等的”，即兩分子的相對速度相對於質心速度\(v_{CM}\)的夾角是均勻分佈的，這意味着\(v_1-v_2\)在\(v_{CM}\)上的投影的“平均值”爲0，即\(\lang (v_1-v_2)\cdot v_{CM} \rang=0\)。代入得\(\left\langle \dfrac{m_1v_1^2-m_2v_2^2+(m_2-m_1)v_1 \cdot v_2}{m_1+m_2}\right\rangle =0\)。即\(m_1 \lang v_1^2\rang -m_2\lang v_2^2\rang+(m_2-m_1)\lang v_1 \cdot v_2\rang=0\)。\(\lang v_1 \cdot v_2\rang\)顯然爲0，因爲任意的分子的運動方向都是任意的，對於每個確定的\(v_1\)都有\(v_1 \cdot v_2\)的平均值爲0，綜合起來依然爲0。這樣我們就分析得到了必須有\(\left\langle \dfrac{1}{2}m_1v_1^2\right\rangle=\left\langle \dfrac{1}{2}m_2v_2^2\right\rangle\)。
那麼假如氣體是被分開的，是否也有相同的結論？我們想象容器內有一塊隔板，隔板中間有一個小孔，它只能讓其中一側的分子漏過去，由於是彈性碰撞，氣體的總能量是不會發生變化的，所以混合的氣體的能量的結論可以直接拿過來用。如果這個隔板是活塞，我們可以證明活塞的動能（水平運動的能量）也和氣體的平均動能相同。
所以，當兩種氣體“處於相同溫度”時，它們的平均動能相等。這表明“平均動能相等”是“平衡時的一種現象”，所以我們就用“平均動能”來度量“溫度”，以使其滿足“平衡時相等”這一特性。因此最好的辦法就是把平均動能本身作爲溫度的定義，但爲了方便，我們在它們之間乘上一個係數——
理想氣體定律
——來使得它代入壓強的表達式的時候寫的簡潔。根據\(PV=\left(\dfrac{2}{3}\right)N\left\langle\dfrac{1}{2}mv^2\right\rangle\)，我們就把\(\dfrac{2}{3}\left\langle\dfrac{1}{2}mv^2\right\rangle\)定義爲\(kT\)，其中\(T\)是溫度，\(k=1.38 \times 10^{-23}\text{ J/K}\)。因此分子的平均動能就可以寫作\(\dfrac{3}{2}kT\)，沿某一方向的平均動能就是\(\dfrac{1}{2}kT\)。
選擇這樣的係數以後，在標準情形下\(T=273\)時恰好是水結冰的溫度，\(T=373\)時恰好是水沸騰的溫度。\(T=0\)就是絕對零度。它的單位是開爾文，開氏度減去273就得到攝氏度。
由此我們得到了公式\(PV=NkT\)，這就是理想氣體定律。爲了方便，我們用摩爾而不是原子數來計數， 基於阿伏伽德羅常數\(N_0=6.02 \times 10^{23}\)，定義\(R=N_0 k=8.317 \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)。這樣理想氣體定律就寫作
——根據牛頓定律，在同樣的溫度同樣的壓強下，相同體積的不同氣體具有相同的分子數！這是一個令人驚異的結論。
儘管我們只對單原子氣體分子證明了這個結論，但我們要指出這個結論對於多原子氣體分子也是成立的：這個定理的核心就是對溫度的定義，而在定義溫度的時候我們考慮的核心是氣體分子的碰撞。我們之所以懷疑多原子氣體分子在這個定律上的正確性，在於此時氣體分子內部有作用力，但這些作用來碰撞這種“瞬間作用”下是可以忽略的，因此我們的整個論證都是依然可行的。