洛瓦茲局部引理
給定一個“壞事件”的集合\(\mathcal{B}=\{B_1,\cdots,B_m\}\)，其中\(\Pr[B_i]<1\)。當我們希望一個壞事件都不發生的時候，我們等價於希望有壞事件發生的概率\(<1\)，即\(\Pr[\bigcup\limits_{i=1}^{m}B_i]<1\)。根據以往的做法，我們可以根據Union Bound直接放縮爲\(\sum\limits_{i=1}^{m}\Pr[B_i]\)，證明它小於1即可。
Union Bound是對任何事件集都成立的，也就是說Union Bound的放縮一定沒能利用到“壞事件”本身之間的聯繫。這將會導致用Union Bound處理問題經常會放過頭。
洛瓦茲局部引理就是這樣一個利用了事件本事之間聯繫的定理。我們定義一個關於壞事件集合的“依賴圖”\(G([m],E)\)，滿足：如果\(B_i\)與\(B_j\)不獨立，則\(i,j\)之間必須連一條邊。這裏我們沒有要求如果\(i,j\)有邊必須能推出\(B_i,B_j\)不獨立，因此依賴圖是不唯一的。一個完全圖一定是一個合法的依賴圖。設\(d\)是依賴圖的最大度數，直觀上\(d\)越小說明事件之間的相關性越低。洛瓦茲局部引理指出，如果\(\exists 0\leq p<1\)使得\(\Pr[B_i] \leq p\)恆成立（即壞事件的概率存在上界\(p\)），且存在某個度數爲\(d\)的依賴圖，使得\(p,d\)滿足\(p(d+1)<\dfrac{1}{e}\)，那麼可以推出壞事件都不發生的概率大於0，即\(\Pr[\bigcap\limits_{i=1}^{m}\overline{B_i}]>0\)。其中\(e\)是自然對數。
我們之後將會對更一般的情況給出證明，這裏我們先來通過例子來進一步洛瓦茲局部引理在說什麼。
如果所有事件都互斥（互斥即沒有交集。我們知道兩個互斥事件不可能同時發生，所以同時發生的概率爲0，而兩個事件的概率相乘不等於0，因此互斥事件一定不獨立），此時的依賴圖只能是完全圖。因此\(d=m-1\)。因此如果\(p<\dfrac{1}{em}\)，那麼滿足洛瓦茲定理的條件，壞事件有可能都不發生。
如果所有事件都相互獨立，那麼\(d\)可以取0。此時如果\(p<\dfrac{1}{e}\)就可以推出壞事件可能都不發生。
Ramsey數
我們給出過\(R(s,s)>2^{s/2}\)。其實它是由\(\Pr[\bigcup\limits_{S\in\binom{[n]}{k}}B_S]\leq \dbinom{n}{k} 2^{1-\binom{k}{2}}<1\)推得的，可以解出更精確的下界\(n\leq \left(\dfrac{1}{e\sqrt{2}}+o(1)\right)k\cdot 2^{\frac{k}{2}}\)。我們做的工作就是爲了使\(\Pr[\bigcap\limits_{i=1}^{m}\overline{B_i}]>0\)，當時我們使用的是Union Bound。
現在我們可以用洛瓦茲局部引理了！兩個\(k\)子圖\(S,T\)如果只有不超過1個公共點，那麼它們沒有公共邊， 所以是獨立的。所以只有可能那些有超過1個公共點的子圖間不獨立，所以某個\(k\)子圖最多可能擁有\(\dbinom{k}{2}\dbinom{n-2}{k-2}\)個與它不獨立的子圖，對應的依賴圖上度數不可能超過它。所以\(d \leq \dbinom{k}{2}\dbinom{n-2}{k-2}\)。我們的壞事件是子圖的邊同色，所以\(\Pr[B_i]\)恆爲\(2 \times \dfrac{1}{2^\binom{k}{2}}\)。所以取\(p=2^{1-\binom{k}{2}}\)，代入\(p(d+1)<\dfrac{1}{e}\)解得只要\(n \leq \left(\dfrac{\sqrt{2}}{e}+o(1)\right)k\cdot 2^{\frac{k}{2}}\)就能保證不存在同色子圖，這樣我們就找到了一個新的更大的下界。