一致收斂性
在一個數項級數中，每個項都是一個常數：\(a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\)。現在有一系列數項級數，我們可以把每一項都看作是關於某個自變量\(x\)的函數\(a_i(x)\)，這樣我們也得到一個“級數”\(a_1(x)+a_2(x)+\cdots+a_n(x)+\cdots\)。我們發現如果這個和是收斂的，那麼這個和本身也是一個關於\(x\)的函數。我們就把這個“級數”稱爲函數項級數。它就定義爲\(S(x)=\lim\limits_{n \to +\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}u_i(x)\)。
不同的數項級數，有的收斂有的發散，因此對於不同的\(x\)，函數項級數\(S(x)\)的斂散性也可能不同。如果對於某個\(x_0\)，\(S(x_0)\)是收斂的，就稱\(x_0\)是收斂點。如果定義域上的每個\(x\)都是收斂點，那麼稱這個函數是“點態收斂”的。之所以不簡單地把它稱爲“收斂”是因爲我們發現，這種“點態收斂”似乎並不是一個非常好的性質——
我們的函數項級數\(S(x)\)本身是一個關於\(x\)的函數，因此我們想要研究它的分析性質：連續性、導數、Riemann可積性等等。一個很自然的想法是， 能否由級數的“項”的分析性質直接推出級數的性質？這是我們的猜想，我們的猜想是基於這一想法在有限個數的時候是成立的（有限個連續函數的和依然連續，有限個函數的導數的和等於和的導數，有限可積函數的和依然可積）。而級數是無限個數的求和，是先求和再取極限的過程。我們的“分析性質”本身也是一個極限過程。所以當我們試圖從項的分析性質推到級數的分析性質時，其實是在問：我們對每一項做某個極限再對整體求和的極限，是否等價於先對整體求和取極限，再進行我們剛纔對每個項所作的極限？更簡單地說，我們能否交換取極限的順序？遺憾的是，我們發現一個僅僅滿足“點態收斂”函數項級數是不能這樣交換求極限的順序的。我們分別舉出三個反例，對應這三個性質（其中\(S_n(x)\)表示\(u_n(x)\)的前綴和，這兩種描述方式是等價的）：①\(S_n(x)=x^n\)，則對於\(x \in (-1,1)\)都有\(S(x)=0\)，而\(S(1)=1\)，可見儘管\(x^n\)關於\(x\)連續但\(S(x)\)卻在\(x=1\)處間斷了；②\(S_n(x)=\dfrac{\sin nx}{\sqrt{n}}\)，根據Abel-Dirichlet判別法它對任意\(x\)都收斂於0，因此\(S(x) \equiv 0\)，\(S'(x) \equiv 0\)；然而\(S'_n(x)=\sqrt{n}\cos nx\)，顯然不恆等於0。可見不能由每一項的導數之和推出和的導數。③依次列出\([0,1]\)上的有理數\(q_1,q_2,\cdots,q_n,\cdots\)，\(S_n(x)=1\)當且僅當\(x \in \{q_1,\cdots,q_n\}\)，否則\(S_n(x)=0\)。對於\([0,1]\)上的任意一個\(x\)，如果\(x\)是無理數那麼\(S_n(x)\)恆爲0，因此收斂於0；如果\(x\)是有理數，那麼當\(n\)充分大以後\(S_n(x)\)恆爲1，因此收斂於1。可見\(S(x)\)其實就是Dirichlet函數，它是不可積的。但是對於每個\(S_n(x)\)，此時我們\(n\)沒有做極限過程，因此是有限的，它只有當\(x\)取\(q_1,\cdots,q_n\)這有限個點時不爲0，因此是可積的。可見每個函數都可積不能推出它們的和也可積。
我們在從更高的角度來看我們遇到的問題。點態收斂是在每個自變量上級數收斂，級數收斂就是數列收斂，數列收斂是一種度量，因此點態收斂也是某種度量。 一列Riemann可積的函數在點態收斂的條件下求和變得Riemann不可積，這說明Riemann可積這種操作在點態收斂的度量下是“不完備”的。想要讓不完備變得完備有兩種方法，一種是加強操作，一種是加強度量。人們發現如果把Riemann可積加強爲Lebesgue可積，那麼就變得完備了。這類似於在“數列極限”的度量下只有把有理數推廣至無理數才能實現完備化。而在連續的例子中，我們的問題是連續函數在點態收斂的度量下是不完備的，這時人們發現如果把“點態收斂”這一度量加強爲“一致收斂”，我們就再次實現了完備化。 現在我們就來討論一致收斂。
類似於“一致連續”的概念，不保證“一致”的函數在不同點極限速度不同。在“點態收斂”中，不同的\(x\)對應的數項級數可能在趨向極限的速度上相差很大，一致連續就是爲了保證速度的差別不能太大。如果把點態收斂用\(\varepsilon-\delta\)語言敘述，那麼不同的\(x\)對應的\(N\)不僅取決於\(\varepsilon\)還取決於\(x\)。如果能找到不依賴於\(x\)的\(N\)那麼就實現了一致收斂——即如果\(\forall \varepsilon\)都能找到\(N\)使得\(n>N\)時\(|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)對所有的\(x\)恆成立，就稱這個函數項級數一致收斂。幾何上表現爲，當\(n\)充分大時\(S_n(x)\)必須被包裹在\(S(x)\)上下波動\(\varepsilon\)的帶狀區域裏。
進一步觀察一致連續的定義發現，“\(|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)對所有的\(x\)恆成立”這句話其實是對兩個函數\(S_n,S\)進行某種度量。如果我們把這種度量專門給出一個定義，那麼我們就可以拋開\(x\)直接談論這兩個函數了。這時函數直接成了我們討論的對象，而不用思考它背後的意義。這個定義自然就是\(d(f,g):=\sup\limits_{x \in D} |f(x)-g(x)|\)（因爲考慮到了在非緊集中最大值可能不存在，所以寫成上確界的形式）。此時我們驚奇的發現，當我們把“函數項級數”按照這種方式來度量時，“一致收斂”這一概念在形式上與“數列的收斂”完全吻合。也就是我們可以把函數當作一個數字來看待。更偉大的是，由於這一定義的結構的吻合性， 所有關於數列的定理此時都可以搬到函數項級數上，只要把數列極限中距離的度量修改爲\(d\)，把數列的收斂修改爲函數項級數的一致收斂！
於是我們根據數列的Cauchy收斂原理——數列收斂的等價描述——直接得到函數項級數一致收斂的等價描述：\(\forall \varepsilon>0\)，如果存在\(N\)使得\(\forall m>n>N\)都有\(d(S_n,S_m)<\varepsilon\)恆成立，那麼\(S(x)\)一致收斂。它同樣幫助我們拋開極限值來判定收斂。
根據Cauchy收斂原理，如果某個函數項級數\(\sum u_i(x)\)滿足\(|u_i(x)| \leq a_i\)恆成立，其中\(\sum a_i\)是一個收斂的數項級數（非負項級數），那麼我們可以直接推知\(\sum u_i(x)\)一致收斂。因爲當\(n,m\)足夠大時\(|u_n|+\cdots+|u_m| \leq a_n+\cdots+a_m\)，如果對\(a_i\)也用Cauchy收斂原理就會得到右側是任意小的，所以左側也被迫任意小， 這就符合了函數項級數一致收斂（本質上也是Cauchy收斂原理）的判定條件了。（不僅如此，我們還可以得出\(\sum |u_i(x)|\)也是一致收斂的，這個結論更強。）這就是Weierstrass判別法，它告訴我們如果能用一個收斂的數項級數來bound函數項級數，那麼這個函數項級數就一致收斂——因爲這個數項級數迫使這些函數項級數以相同的步調趨向極限，不能有人落隊。