轉載自https://www.zhihu.com/question/58814934/answer/160032303 作者：Zhao Zhang
讓我幾句話講明白小波這個事:
我們無法同時測準一個信號的頻率和時域,要麼頻域不準,要麼時域不準,這兩者存在一個理論極限,是可以由數學證明的客觀存在,即測不準原理.(公式詳見小波十講).
連續無限長度的傅里葉分析以完全拋棄了所有的時域信息爲代價,獲得了完全精確的頻域信息,怎麼講? 你算個頻譜,看每個頻點有幾個振幅值? 一個吧? 你能告訴我1000Hz在第一秒多大,第二秒多大嗎? 不行吧? 因爲它只有一個值.
爲了解決這個問題,我們引入了滑動窗口傅里葉,滑動窗口加窗傅里葉使得每個頻段既能帶有時域信息又能帶有頻域信息,這樣同一個頻點在不同的時間段可以獲得多個振幅值,我們就擁有了這個頻點的一些時域信息,但加窗傅里葉依然受測不準原理影響,窗口尺寸越大頻率測得越準時域測得越不準,反之亦然.
那小波呢? 小波變換說白了還是滑動窗口傅里葉,只不過窗口尺寸在高頻取短點兒,低頻窗口取長點, 使得高頻在時域更準,低頻在頻域更準.就是這麼簡單!
同理的我們完全可以設計一個變換使得高頻頻率更準,低頻時域更準,或者高頻頻域更準中頻時域更準低頻頻域更準........ 但這些都是受測不準原理影響的,只可能更差,並不會比傅里葉更好.
所以你要知道,小波變換從某種意義上來說只是時頻變換的一個trick,同樣受到測不準原理的影響,它並沒有真正獲得比傅里葉更精確的信息.
因此在實際使用時,把傅里葉換成小波並不一定會得到更好的結果,這是其一.
其二, 實際使用時,雖然我們經常碰見貌似應該用小波分析的情況,但能把小波那一套原封不動套到解決方案上的情況卻不多.
其三,高頻窗小低頻窗大這種事,只要我們不需要正交性,不做逆變換,完全可以用各種更經濟,基於傅里葉或濾波器的方法實現.
其四,離散小波變換,多分辨率分析,聽着高大上,實際上完全等同於完全重構FIR濾波器組,算了半天草帽小波雞,最後得到的就是個sinc函數加窗的FIR濾波器組.想明白這個事兒以後我氣得三天沒喫下飯.
其五,很多時候,例如相關濾波時,用傅里葉只是爲了讓卷積算得更快.
綜上,確實有一些需求用小波更好,但也只是一些,不是全部.