定義
子模 (Submodular)、超模 (Supermodular)和模(Modular)函數是組合優化中用到的集合函數概念。函數定義域爲某個有限集$\Omega$的冪集$2^\Omega$，值域通常爲$R$，即$f:2^\Omega\to R$。
子模函數：對於集合$A\subseteq B\subset \Omega$，元素$e\in \Omega-B$，子模函數$f(X)$滿足
$f(A\cup\{e\})-f(A)\geq f(B\cup\{e\})-f(B)$
直觀上看，隨着集合$X$元素的增加，在新增某個元素時$f(X)$值的變化量不變或降低。或者說函數$f(X)$的邊際效應逐漸降低。需要注意的是，子模函數並沒有限制$f(A\cup\{e\})\geq f(A)$，因此元素的加入既有可能使$f(X)$變大，也有可能使其變小。
超模函數：對於集合$A\subseteq B\subset \Omega$，元素$e\in \Omega-B$，超模函數$f(X)$滿足
$f(A\cup\{e\})-f(A)\leq f(B\cup\{e\})-f(B)$
直觀上看，隨着集合$X$元素的增加，在新增某個元素時$f(X)$值的變化量不變或增加。或者說函數$f(X)$的邊際效應逐漸增加。此外，對於超模函數$f(X)$，可以證明$-f(X)$爲子模函數。
模函數：對於集合$A\subseteq B\subset \Omega$，元素$e\in \Omega-B$，模函數$f(X)$滿足
$f(A\cup\{e\})-f(A)=f(B\cup\{e\})-f(B)$
直觀上看，在集合$X$加入元素時，$f(X)$值的變化量與集合中原有的元素無關，而僅與新加入的元素相關，從而有上面的等號。根據定義可以看出，模函數既是超模函數，又是子模函數。
應用
使用規則集舉個例子，規則集$S\subseteq \Omega$中包含一系列的規則$R_i$，即$S=\{R_i\}_{i=1}^m, R_i\in \Omega$。每個規則都可以判斷樣本$x$是否滿足該規則，如果規則集中有一個規則滿足該樣本，則說該規則集滿足該樣本。對於包含$n$個樣本的數據集$X=\{x_i\}_{i=1}^n$，定義$X_{S}$爲滿足規則集$S$的樣本的集合。
則我們可以發現子模函數：
$\displaystyle f(S)=|X_S|$
這是因爲，當我們不斷向$S$中加入新的規則時，$S$能滿足的樣本數量逐漸趨向$n$而飽和，函數收益遞減。
還可以發現模函數：
$\displaystyle g(S)=\sum\limits_{R_i\in S} |X_{\{R_i\}}|$
這是因爲，當我們不斷向$S$中加入新的規則時，上式總是把新規則所滿足的樣本數量增加到函數值中，而與$S$中原有的規則無關。