\(\sect 1\) 牌效率理論
牌效率理論是麻將中最重要的理論之一。麻將遊戲中大部分需要“決策”的內容就是“打出什麼牌”這一問題，對這一問題的回答大多來自於牌效率理論。我們要以效率最高的方式達到和牌的目的。
在以下的分析中，我們只考慮最理想的情況：門前清立直。我們暫不討論七對子、國士無雙等特殊牌型的和牌方式，也不討論“副露”情況下的和牌方法。同時，在計算場上剩餘的牌時，我們也暫不考慮其它玩家已經打出了的牌，因爲那樣就把問題的分析變得非常得具體了。我們討論相對抽象的理論，儘管對這種理論的應用在實際上會有偏差，但牌效率理論的內核與場上的具體分析本質上是相同的。對牌效率理論的研究對於分析場上具體的牌效率是非常有幫助的。
Thm（五組定理） 決定以普通牌型和牌時，如果手上超過五組，則爲了和牌一定需要在某個時刻拆掉至少一組。
Pf
由於每次只能打出一張牌，因此組數只能連續變化。根據介值性，如果手上超過五組，則爲了達到五組的和牌牌型，則一定需要在某個時刻拆掉至少一組。
Rmk
對組數的判定是相對於希望的和牌牌型而言的。一般的單牌不會被單獨算成一組，但如果是寶牌或者其它我們希望它稱爲面子的牌，就可以被算爲一組。
有效牌
Def (向聽數) 如果手上的牌最少再過\(x\)輪摸切就能夠達到聽牌，那麼稱此時手牌爲“\(x\)向聽”，\(x\)稱爲向聽數。
Def (進張) 如果一張牌能夠讓手牌的向聽數變小，那麼稱這張牌爲“進張”
Def (改良牌) 如果一張牌不改變向聽數但能增加進張數，那麼稱這張牌爲“改良牌”
Def (有效牌) 進張和改良派統稱“有效牌”
對牌效率的分析是基於“有效牌”的數量分析的。
搭子
Thm 兩面>坎張>偏張。其中 > 表示“比…效率高”。
Pf
不考慮場上已經打出的牌的因素，兩面進張數爲8，坎張進張數爲4，可見兩面優於坎張。
偏張進張數也爲4。但是坎張（比如3,5）進2或6可以“改良”成兩面。而對於偏張（比如1,2），3本身是進張，沒有改良牌。因此坎張優於偏張。
Thm 有雀頭時，對子<偏張。
Pf
由於不再需要雀頭，對子的進張數只有2（還有兩張在自己手上），弱於偏張。
Thm 有雀頭時，與兩面間隔爲1的牌弱於其它花色的單牌。
Pf
不失一般性，只需證346m的6m要弱於6s。由於此時已經有雀頭，兩者的進張都是2m,5m（8張）。其中，單牌6s進5s,7s可以改良形成兩面。346m進7m也可以改良爲兩面，但進5m就無法起到改良的效果，因爲已經形成了順子。
複合型
Def (補強牌) 與搭子的其中一張相同的牌稱爲該搭子的補強牌。
Thm 補強牌能增加刻子的進張數，優於同樣點數的其它花色的單牌。
Pf
不失一般性，以67的補強牌677爲例，進張數由原本的8（5,8各4張）增加到10（增加了7的2張）。這張7比別的花色的單7相比更優，單7的效率在於進6、8形成兩面，進7形成對子，進5,9形成坎張；單作爲補強牌的7進5,8能直接形成順子，進7形成刻子，進6形成兩個兩面，效率更高。坎張或偏張的證明同理。
Rmk
在沒有雀頭時，補強牌可以作雀頭。而在有雀頭的時候，雀頭同樣有2張刻子的進張。這樣的進張稱爲“雙碰進張”，它的進張數可以認爲是4張而不是表面看上去的2張。
Def (兩坎) 形如\(x,x+2,x+4\)的同花色牌型稱爲兩坎，其中\(1 \leq x \leq 5\)。
Thm 兩面>兩坎>坎張
以3,5,7爲例優於坎張，弱於兩面。兩坎進張數爲8，因此優於坎張。兩面的進張數同樣爲8，但兩坎首先會多佔一個位置，同時在聽牌時必須打出一張變成坎張聽牌（聽牌數<=4，愚型），因此弱於兩面。
Def (四連型) 形如\(x,x+1,x+2,x+3\)的同花色牌型稱爲四連形，其中\(2 \leq x \leq 5\)。
以4567爲例。它可以看作兩個兩面搭子（因此\(x\)取1時不能稱爲四連形，它是偏張和兩面）。4567的四連形進3,5,6,8（14張）都能形成順子和兩面。而其中，進3（或8）後能形成五連型34567，聽2,5,8（11張）形成三面聽牌。當手上無雀頭時，4567四連形進4或7都能形成雀頭，進張數爲6，優於雙碰（4張）的進張數。同時，根據需要，在適當的時刻也可以拆四連形4567的4或7變回順子聽牌。
Def (中膨型) 形如\(x,x+1,x+1,x+2\)的同花色牌型稱爲四連形，其中\(2 \leq x \leq 6\)。
以4556爲例，它也可以看作兩個兩面搭子。進3,4,6,7（14張）形成順子和兩面。在適當的時刻可以拆5形成順子聽牌。它和四連形很相似，都是非常高效的牌型。（中膨形理論上也可以聽雀頭，但進張數只有2，甚至弱於單騎）
Def (羅斯型) 形如\(x,x,x,x+1\)（或\(x,x,x,x-1\)）的同花色牌型稱爲羅斯形，其中\(2 \leq x \leq 7\)（\(3 \leq x \leq 8\)）。
以4445爲例。進3,6（8張）形成順子和對子，進5（3張）形成刻子和對子。在沒雀頭的時候，我們需要形成對子，因此一般保留羅斯型。在有雀頭時不需要對子（只能聽刻子），一般拆羅斯型保留刻子。
Def (怪羅斯型) 形如\(x,x,x,x+2\)（或\(x,x,x,x-2\)）的同花色牌型稱爲羅斯形，其中\(1 \leq x \leq 7\)（\(3 \leq x \leq 9\)）。
以4446爲例。它是羅斯形的變種，進5（4張）形成順子和對子，進6（3張）形成刻子和對子。因此我們對待它的方式和普通羅斯形相同，依據有無雀頭分類討論。
Def (亞兩面型) 形如\(x,x,x+1,x+2\)的同花色牌型稱爲亞兩面形，其中\(1 \leq x \leq 6\)（\(3 \leq x \leq 9\)）。
以6678爲例。亞兩面形一般沒有固定的處理方法，需要具體問題具體分析。它可以看作66的對子和78的兩面，但由於6已經損了2張，因此78作爲兩面的效率其實有所降低，因此稱爲“亞”兩面。
當多個複合型疊在一起時，我們往往有多種方式來理解這些牌，以至於難以看出效率最高的理解方式。例如，對於233457，我們往往傾向於將7看作浮牌，而事實上它可以被理解爲一個順子234和兩坎357的疊加。同樣的，134568我們容易拆掉1，8把它理解爲四連形，事實上它可以被理解爲兩個兩坎135、468的疊加。正是因爲形如這樣的牌型非常容易犯錯，我們要把它刻進DNA裏，所以我們通常稱這種牌型爲DNA型。
單牌效率與開局手順
單牌效率比較
Thm 1,9 < 2,8 < 3~7。其中 < 表示“沒有…效率高”
Pf
1只能進2形成偏張，而2可以進1形成偏張、進3形成兩面、進4形成坎張，優於1；3進2、4形成兩面，進1、5形成坎張，優於2；對稱的，對於7,8,9也成立。3~7的單牌效率可以認爲相等。
Thm（差三變弱定理） 對於同花色的單牌\(x,x+3\)，\(x\)要弱於其它花色的\(x\)。
Pf
以25爲例：如果進\(3\)那麼23形成兩面，此時再進4就會損害5的進張；如果進4那麼再進3就會損害2的進張。Rmk
差三變弱定理的本質是“有效牌重複”。例如，3467m這兩個兩面有重複的進張5，不如34m和67s這樣兩個完整的搭子。
單牌與弱搭子的價值比較
Thm 對於場上沒有出現的過的單牌，14的1（69的9）< 客風牌 < 單牌19 < 非自風的場風牌 < 役牌 < 自風牌 < 單牌28 < 偏張（12，89）< 單牌3~7
根據差三變弱定理，14的1弱於單牌1，是最沒有牌效率的。客風牌和單牌19效率相近。非自風的場風牌是大家共用的，價值較弱。役牌同樣是大家共用的，弱於自風牌。偏張本身帶有了單牌28，因此由於單牌28。早巡時認爲偏張一般是弱於中張單牌的。
如果相應的單牌在場上已經出現一張，那麼它在同類牌中應當被更優先打出。如果出現了超過一張，那麼一般可以選擇直接打出。
當一張牌有多種理解方式時，我們取價值最大的情況。例如245的2又可以看作單牌2又可以看作坎張24，因此我們可以先不把它看成單牌把它優於偏張打出。
這個定理通常被用來作爲開局時打牌的順序標準。但是這個順序也不是嚴格的，通常我們需要結合場況具體問題具體分析。
聽牌型
Def（好型聽牌，愚型聽牌）一般我們認爲聽牌數\(\geq 6\)張時是好型聽牌，否則稱爲愚型聽牌。
常見的好型聽牌（在不考慮場況裏的損張時）兩面聽牌（8張），五連型的三面聽牌（11張），四連形聽雀頭（6張）。
常見的愚型聽牌有坎張聽牌（4張），偏張聽牌（4張），雙碰聽牌（4張），單騎聽牌（3張）。
Rmk
但是我們一般認爲聽字牌是好型，尤其是當字牌出現過損張時，因爲別家一般傾向於認爲字牌是安全牌。
Def（好型一向聽）當一向聽時手裏還沒有做完的搭子是兩個兩面時，稱爲好型一向聽。
好型一向聽的進張數爲16（\(4 \times 4\)），進張後形成兩面聽牌。
Def（完全一向聽）當一向聽時手裏還沒有做完的搭子是一個兩面和一個兩面補強牌時，稱爲完全一向聽。
完全一向聽的進張數達到20（兩面的進張數\(4 \times 4=16\)，補強牌形成刻子有2個進張，雀頭形成刻子有2個進張），進張後形成兩面聽牌。
Thm 先打強搭子的補強牌。
Pf
例如一向聽手牌[22m 678m 445p 133s 北北北]。此時需要分析打3s還是4p聽牌。如果打4p，那麼進張爲3p（4張，愚型）、6p（4張，愚型）、2s（4張，好型）、3s（2張，好型）、2m（2張，好型）。如果打3s，那麼進張數爲3p（4張，愚型）、4p（2張，愚型）、6p（4張，愚型）、2s（4張，好型）、2m（2張，好型）。綜上，兩者進張數相同，但是打強搭子的補強牌有\(\dfrac{8}{16}\)的概率形成好型聽牌，打弱搭子的補強牌只有\(\dfrac{6}{16}\)的概率形成好型聽牌。因此先打強搭子的補強牌能形成更好的聽牌型。
符數的計算
符數與點數
點數\(A\)的計算公式爲：\(A=符數 \times 2^{番+2}\)。一副牌的底符爲20，按以下方式增加：
- 雀頭：役牌\(+2\)（雙役牌\(+4\)）；
- 刻子：基礎2符，幺九\(\times 2\)，暗刻\(\times 2\)，槓\(\times 2\)；
- 聽牌型：坎張\(+2\)，偏張\(+2\)，單騎\(+2\)；
- 和牌：自摸\(+2\)，門清榮和\(+10\)；
符數向上取“整十”。莊家自摸，每人收\(2A\)；子家自摸，莊家給\(2A\)，其它給\(A\)。放銃時由放銃者全付。
上述對\(A\)的計算法則只對\(A\leq 2000\)時成立。否則稱爲“滿貫”，取\(A=2000\)；番數\(\ge 6\)稱爲跳滿，取\(A=3000\)；番數\(\geq 8\)稱爲倍滿，取\(A=4000\)。番數\(\geq 11\)稱爲三倍滿，取\(A=6000\)。番數\(\geq 13\)，稱爲累計役滿，取\(A=8000\)。
門清時，除了和牌之外沒有符的和牌稱爲“平和”。它等價於：四組順子，雀頭非役牌，最後是兩面聽牌。
\(\sect 2\) 防守理論
一發，1番。也就是說，別人立直以後第一輪一定要着重防守。喫碰槓會破壞一發。
必要性
雀魂是避四麻將。一位+100，二位+65，三位+0，四位-165。喫四代表一天白打甚至一週白打。
最後的位次非常關係。自摸平攤，放銃就需要幫別人支付，因此日麻鼓勵防守。
如果從手上uniformly at random打一張，放銃概率大概爲10%。
可行性
由於振聽的存在，防守是可行的。振聽規則是防守理論的基礎。玩家進入振聽狀態後，只能自摸和牌。
舍張振聽：聽的牌中存在至少一張自己曾經打出過的牌，在聽牌之後的瞬間進入舍張振聽狀態。一旦改聽並且此時聽的牌中不存在打出過的牌，就解除該狀態。（經常出現代表打的有問題）
同巡振聽：如果聽牌時別人打出了我聽的牌（如果是自摸打掉了顯然就是舍張振聽），我卻因爲某種原因無法和，或取消了和，則進入同巡振聽。在下一次我打出牌之後就解除。
立直振聽：立直之後要和的時候點取消，進入立直振聽。無法解除。
現物防守
如果選擇棄和（何時選擇棄和是個複雜的問題，之後再討論），就拋開牌效率理論，使用防守理論，開始防守。防守就是打出手上的牌，要優先選擇安全度高的牌。
要防守的對象曾經打出過的牌是絕對安全的，因爲如果他和這張牌就舍張振聽。
上家剛打過的牌對於所有人都是絕對安全的，對於上家由於舍張振聽不可能點，其它兩家在上家打出時沒有和，說明這張牌沒點，如果點了卻沒和則同巡振聽。
立直家立直後任意一家打過的牌都是絕對安全的，因爲都沒點，如果點了卻沒讓他和則立直振聽。
如果字牌在場上已經能看到三張（絕張），那麼除非有人做國士無雙，這張牌就是安全的。（國士無雙是看得出來的，他打的全是中張牌）。如果場上已經能看到兩張字牌，那麼除非國士無雙或單騎聽這張，這張牌就是安全的，這樣的概率是比較小的。
我們腦子裏更新一個防守對象的安全牌時間戳。這個時間戳在他非摸切的時候更新到此刻。這段時間內整個場上被打出過的牌基本是安全的，極小概率是他點錯了，或者是他在欺負我（沒有違反振聽規則）。更新之後原來安全的牌變得不安全了，因爲沒有理論能支持它的安全，和一般的不安全牌等同。
以上都是打出現過的牌，稱爲“現物防守”，它們是絕對安全。我們在棄和防守的時候儘量只打絕對安全的牌。它們的證明用到了振聽規則。
筋牌防守
筋牌並不是絕對安全的，統計數據顯示其安全概率大概爲95%。現在我們只討論對立直家的防守。
Def. 如果現物在4~6之間，那麼現物的數值\(\pm3\)稱爲其對應的筋牌。
假如立直以後場上（包括自己）打出過5，那麼防守時打8是安全的，因爲手上的67會振聽（如果是自己打的就是舍張振聽，別人打的就是立直振聽）。同時，立直家從1巡開始打出的牌的筋牌也是安全的，因爲舍張振聽。因此8點別人只有可能是坎張79，雙碰或單騎。可見這種防守對兩面聽牌是有效的，兩面的聽牌型是常見的（統計數據顯示爲48%），點愚形聽牌的概率是小的。
1，9的筋牌（筋19）不點坎張，統計顯示放銃慨率1.8%。筋28放銃概率3.9%。筋37放銃概率5.5%。無筋牌概率約13%。（平均而言）。
Def. 如果現物不在4~6之間，那麼它+3或-3只有其中一者存在，稱爲半筋。比如2的半筋牌5，它雖然不會銃34，但會銃67，它更不安全。它的放銃率爲7.4%，和無筋19相同（也是7.4%）。
Def. 如果一張牌同時作爲兩張牌的半筋，稱爲兩筋。比如他打過1,7，那麼打4不會銃所有的兩面，他的銃率與正常筋牌相同1.8%。
筋牌沒那麼安全，非必要不打筋牌。
立直時打出的牌（立直宣言牌）的筋牌稱爲立直筋。由於兩坎是好型，所以大多數時候會等到立直在拆其中一坎，此時聽的牌剛好是立直宣言牌的筋牌。因此立直筋牌是比一般筋牌更不安全的。
壁理論
Def. 如果“能看見”四個一樣的牌，那麼稱爲壁。
Def. 薄壁：四改成三
壁的作用範圍是\(\pm 2\)。Pf：只防守順子，例如9m擁有一個8m或7m的壁的時候只會輸刻字和單騎，一個5m有一個3m或4m的壁，依然會輸6m 7m等等的牌型。總之，壁作用範圍內的牌安全度升高。只要一邊有貼着的壁，那麼就不輸坎張。
薄壁，One Chance （OC），防守對象恰好拿着最後一張沒現的牌。隨着遊戲往後發展，OC在牌山裏的概率降低，在防守對象上的概率增加，安全度降低。
筋組理論
筋組：\((1p \ 4p)(4p \ 7p)(2p \ 5p)(5p \ 8p)\)，共18組。筋組理論只對兩面聽牌有效。任何一個兩面對應着某個筋組。
我們可以定量計算\(\Pr(某張牌的放銃概率 \mid 防守對象爲兩面聽牌)\)。我們枚舉所有筋組，排除掉現物導致的振聽情況，可以算出放銃的概率。根據壁的存在，我們還可以排除以下不可能出現的兩面。如果是薄壁，我們可以給該兩面加上一個權值（1/4）。當然，實戰不可能一直算概率。這是理解筋牌的更嚴謹的方式。比如，半筋的安全性與無筋的19牌相同，都只輸一組筋。
Rmk
早外：立直家早巡打出牌的外側牌可能是安全的，一般情況早期不會過早拆補強牌，而是打出浮牌。因此我們認爲其外排不太容易點。
紅5：防守對象主動打出紅5，說明他沒有普通5，5相當於一個壁。Cor. 紅5過37：因爲不輸兩面。
3 立直判斷
立直不需要理由，不立直需要理由。
3.1 立直的本質
1000點立直棒。如果1000點立直棒會影響到排位，那麼一般不立直。
立直是一種役。
至少多1番，能翻裏寶牌(20%,30%)，有一發機會(20%)，平均來講50%。
立直宣言，公開了聽牌信息。一般來說降低榮和概率，提高自摸概率。總體來說和率降低了。
只能摸切，無法改良，無法防守。
先制聽牌
莊家、子家
立直前手牌的番數
有沒有役
聽好型還是愚型。
結論
莊家一般無腦立直（除非有役且很大）。莊家應當儘快和牌：被炸莊損失很大；莊家本身和牌點數大；可以連莊。
非莊家：
好型聽牌，如果無役就立直；如果役在滿貫及以上，那麼由於立直會降低和牌概率，所以可以考慮不立直，在跳滿及以上一般不立（即使是莊家）。
愚型聽牌：如果無役——如果一個寶牌都沒有，不立直；一個寶牌，分界線，兩可；多於一個寶牌，立直。如果有役，那麼爲了提高和牌概率，那麼滿貫肯定不立直，5200點以上考慮不立直。小於5200參考無役的選擇，但此時不立直可以等改良。 愚型聽牌一般不會因爲等改良而選擇不立直，不立直一般是處於提高和牌概率或者小牌和的意義不打不如防守。
平和朵拉一，不立是傻逼。
不立的情況：愚型無寶牌無役，或者牌很大。
追立
4 副露
優點：提速
缺點：降低分數，降低防守能力，暴露信息
大原則：不確定該不該副露的時候，不副露不需要理由。一般的副露率一般30~35%
莊家想和牌，更傾向於副露；牌很大，寶牌一大堆，混一色……；
前期一般不太喫好型，好型可以自摸。牌型越散進張越多，越可以等自摸。Rmk：逆否命題，別人喫好型意味着別人牌快好了
碰個白和1000點，立直了也就2000點，還可以阻止別人和大牌，可以副露。
常見副露的役
役牌：大多數時候都會碰。但是，比如役牌當雀頭時，碰了會增加向聽數，所以不碰。早巡不確定，都可以；小而快的牌或太慢的牌可能不碰，小而快的牌應當爭取立直提高打點，太慢的牌碰了不一定能夠和，還不能防守。
役牌後付：後付指副露時役還不確定。後付一般都是役牌後付。想提速（牌大、莊）時可以選擇後付，但有風險無役和不了牌。
Rmk：當別人有奇怪的副露時，小心打役牌（要麼讓他有役了，要麼就點了）
斷幺九
混一色：只有字牌和同一花色的牌。門前清記3番，否則2番。3個或許可以考慮，4個同色搭子（包括字牌）儘量做混一色。它的主要優勢是增加番數，如果有多個寶牌混一色也就不是必須的。
對對和
一氣通貫、三色同順（副露一番）
混全、純全
副露的牌效率理論
不能使向聽數前進的副露是不好的。
副露的牌效率理論和立直牌效率有一定的區別。與立直牌效率相比，搭子的效率\(\times 2\)（喫上家），對子的效率\(\times 4\)（所有家都可以碰）。所以，比如在副露過程中偏張本來是4現在變成8，相當於立直過程的兩面。副露的兩面相當於立直的好型一向聽的進張數。副露的好型一向聽就上天了。副露的對子進張數也是8，也相當於立直的兩面。
其它與立直相似。
役牌：靈活。最難防守的副露。
斷幺九：23和78變成偏張。
混一色，清一色
對對和：有役牌，或牌大又難以提速。中張對子很難碰，有役牌相當於有退路。牌大那是在賭博。
一氣通貫、三色同順：副露會減番，我們心目中不希望去爲了它們而副露。所以一般是牌大或者做出這兩個役的搭子是愚型。
混全、純全：半國不國的極端情況
5 攻守判斷
莊家大於等於兩向聽別家立直時一般選擇防守。
對副露的防守
6 形式聽牌
7 小專題
槓
槓的最主要目的是開寶牌（和翻裏寶牌），對符數的影響是次要的。
一般不明槓。除非願意放棄門清，一般是我們認爲不想做立直的小牌時，或是已經決定副露。
暗槓較爲常見。但是暴露信息，形成一個壁，利於防守。從牌效角度看，例如456666，槓了退向，一般不槓。因此反過來看， 如果別人槓了某一張牌就說明這張牌附近沒有搭子，它的筋牌就相對安全，也就是這張槓的牌可以被看作現物。
不知道是否應該槓的時候不槓。
聽牌的時候槓不會很錯。
副露。
References：魔女；天鳳；統計學麻將
七對子：七個不同的對子。如果有5個對子，就做七對子。字牌非常重要，場上只被打出了一張北時聽北概率很高。聽安全牌（對自己而言）時立直，聽非安全牌時不立直。
三色同順：234萬，234筒，234條。門清2番，否則1番。
一氣通貫：123，456，789（但不能吃了234）。番數同上。三色同順和一氣通貫拿到9張中的7張就儘量做。
一杯口：門清，112233，兩個同花色的同順。1番。中膨型不要去拆，一般不刻意去做。