如何使用Python中的N平方法和二進制搜索法計算一個數組中最長的遞增子序列。
使用N平方法計算最長的遞增子序列
在Python社區中，有一個著名的問題是關於最長遞增子序列的，在不同的面試中也會被問到。這是一個Leetcode ，問題說：給定一個未排序的整數數組，找出該數組的最長遞增子序列或子集的長度。
一個子集就像一個數組的短數組；每個數組可以有多個子集。另一件事是子數組將是這個[10,9,2,5,3,7,101,18] 數組中的一些元素，但以連續的子序列方式。
它可以像[2, 3, 5, 7] ，但不能像[2,3,101] ，所以在討論子數組時不需要打破順序。而且，在子序列中，元素在數組中出現的順序必須是相同的，但可以是任何一個個體。
例如，在這種情況下，我們可以看到，答案是[2, 3, 7,101] ；5 ，但這是可以的，因爲它是一個子序列。
如果我們看到從[10,9,2,5,3,7,101,18] 開始的最長的遞增子序列，我們會發現[2, 5, 7, 101] ；這也可能意味着一個答案，但答案也可能是[2, 3, 7, 101] ，這也是我們的另一個子序列。[3, 7, 101] 也是一個子序列，但這不是最長的，所以我們不考慮它。
可能有不止一個組合；正如我們剛剛看到的，我們只需要返回長度。
通過這個例子，我們可以很容易地想到一個遞歸的解決方案，從零索引開始，沿着所有不同的路徑進行。使用這個數組[0,3,1,6,2,2,7] ，我們可以採取，例如，用0 ，我們可以轉到3 ，或者我們可以轉到1 ，或者轉到6 。
然後，從這一點開始，遞歸地繼續下去。看看下面的例子，哪條路徑最長，會是指數級的；我們很容易想到必須要有一些動態編程的方法。
所以，我們有一個數組，每個索引至少有一個長度。
[0,3,1,6,2,2,7]
[1,1,1,1,1,1,1]
我們將從第一個索引開始，0 ，其長度是1 ，但有了3 ，我們可以看後面，如果3 大於0 ，那麼3 有2 的長度。如果我們再以1 ，我們將在當前索引之前的所有索引後面尋找。
從零索引中，我們可以看到1 大於0 ，但1 不大於3 ，所以在這一點上，我們要計算0 和1 ，其長度將是2 。
[0,3,1,6,2,2,7]
[1,2,2,1,1,1,1]
在考慮6 ，讓我們從後面開始看，我們知道6 大於[0,1] 或[0,3] ，包括6 ，其長度將是3 ，然後也是2 的長度是3 ，以此類推，這是一個平方的方法。
[0,3,1,6,2,2,7]
[1,2,2,3,3,...]
時間複雜度和空間複雜度
讓我們跳入代碼，創建我們的類，稱爲CalculateSubSequence ；在lengthOfLIS 函數裏面，我們初始化我們的nums_list 變量爲nums 的長度，這個數組將只有1次。
在嵌套循環裏面，我們將檢查該值是否大於我們要檢查的數字。然後，讓我們把我們的nums_list 的i ，我們將更新nums_list 的值，同時使用最大值 nums_list[i].
i 在外循環的迭代之後，對於 nums_list[j],j 是在內循環迭代後產生的，然後我們將其添加到1 中。最後，我們將返回nums_list 的最大值。
class CalculateSubSequence:
def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
nums_list = [1] * len(nums)
for i in range(len(nums)-1, -1, -1):
for j in range(i+1, len(nums)):
if nums[i] < nums[j]:
nums_list[i] = max(nums_list[i], nums_list[j] + 1)
return max(nums_list)
sbs = CalculateSubSequence()
sbs.lengthOfLIS([0,3,1,6,2,2,7])
這裏的時間複雜度將是n 的平方，而空間複雜度將是o 的n 。
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上面的解決方案已經足夠了，但是另一種方法，n log ，使用二進制搜索到我們的臨時數組的左邊，使用bisect_left 。
from bisect import bisect_left
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class CalculateSubSequence:
def lengthOfLIS(self, nums: list[int]) -> int:
n= len(nums)
tmp=[nums[0]]
for n in nums:
x = bisect_left(tmp,n)
if x ==len(tmp):
tmp.append(n)
elif tmp[x]>n:
tmp[x]=n
return len(tmp)
sbs = CalculateSubSequence()
sbs.lengthOfLIS([0,3,1,6,2,2,7])
輸出：
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