機械臂運動學整理

剛體運動狀態描述

空間中的剛體

空間中的剛體，要描述其狀態一般需要6個參數，3個平動參數，3個轉動參數，分別對應着世界直角座標系的三個軸X,Y,Z。

整合表達剛體的狀態：在剛體上建立座標系剛體系(body frame)，座標系的原點建立在剛體的質心上。這裏需要注意的是，該座標系的座標軸不一定與世界直角座標系的座標軸平行。

剛體平動時，由剛體系的原點位置來判定；剛體轉動時，藉由剛體系相比於世界座標軸的姿態來判定。

當然這樣的表述只能表述某一個時刻剛體的狀態，而我們將剛體整個運動軌跡中各個時刻的這些狀態參數全部記錄下來

利用各個時刻平動參數對時間的微分，由位移就可以轉換到速度和加速度等運動狀態；利用各個時刻轉動參數對時間的微分，由姿態就可以轉換到角速度和角加速度等運動狀態。

• 向量表達空間關係的兩個方式

1. 表達空間中的一個位置
   2. 上式表達的是某一個剛體系的原點在世界座標系中的位置。
2. 表達空間上的一個方向
   2. 上圖表達的是剛體系的各個軸\(X_B,Y_B,Z_B\)也可以在世界座標系中用向量來表示，它們只表示方向，在表示方向時，一般取模爲1的單位向量。

• 方向餘弦(direct cosines)

方向餘弦是指在解析幾何裏，一個向量的三個方向餘弦，分別是該向量與空間直角座標系的三個軸方向的餘弦。

方向餘弦矩陣：由兩組不同的標準正交基的單位向量之間的方向餘弦所形成的矩陣。可以用來表達一組標準正交基與另一組標準正交基的關係。也可以表達一個向量對另一組標準正交基的方向餘弦。

• 量化表達

平動：以向量來描述剛體系{B}的原點相對於世界座標系的狀態。

我們以來說明

我們對{B}的原點分別向世界座標系中做投影，它們在X、Y、Z軸上的值分別爲10、3、3。

轉動：描述剛體系{B}對於世界座標系的姿態——旋轉矩陣(Rotation Matrix)

上圖中，剛體系{B}的各個軸所指向的方向，可以由下式來表明

上式是一個矩陣，代表由世界座標系{A}來表徵{B}，該矩陣的每一列都是3維的列向量，代表{B}各個軸在{A}中的方向，整個矩陣就是一個3*3的樣式，它就是一個旋轉矩陣。

R的三個列向量即爲剛體系{B}的在世界座標系{A}的基，而且是一組正交基。(有關基的概念可以參考線性代數整理 中的空間的基以及線性代數整理(二) 中的正交基與標準正交基)。我們可以使用方向餘弦來表述剛體的姿態。

我們假設世界座標系{A}的三個座標軸的單位向量分別爲\(A_1,A_2,A_3\)，剛體系{B}三個座標軸的單位向量分別爲\(B_1,B_2,B_3\)。定義剛體系{B}與世界座標系{A}座標軸之間的方向餘弦爲

\(a_{ij}=cosθ_{ij}=A_i⋅B_j\)

因爲\(A_i,B_j\)都是單位向量，模爲1，所以上式成立。它可以表述爲兩個座標系任意軸的全排列。故而

可以表述爲

我們以下例來說明

上圖中，藍色座標系爲世界座標系{A}，紅色座標系爲剛體座標系{B}，現在我們要求{B}相對於{A}的姿態。

首先，{B}的X‘’軸與{A}的Z軸反向，故而

它代表{B}的X‘’軸在{A}的方向。

{B}的Y''軸與{A}的Y軸同向，故而

{B}的Z''軸與{A}的X軸同向，故而

因此{B}相對於{A}的姿態爲：

因爲{A}本身的值爲\((1,1,1)^T\)。