麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組

\(\newcommand{\big}{\displaystyle}\)\(\newcommand{\d}{\text{ d}}\)\(\newcommand{\e}{\epsilon}\)到目前爲止,我們已經零碎地研究過麥克斯韋方程組。現在我們開始討論完整地電磁場理論,對於可能以任何形式隨時間變化的電磁場,我們將有完整而正確的描述。完整的麥克斯韋方程組包含四個方程(微分形式):

\[\begin{aligned} &\nabla \cdot \vec E=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}\\ &\nabla \times \vec E = -\dfrac{\part B}{\part t}\\ &\nabla \cdot \vec B =0\\ &c^2\nabla \times \vec B=\dfrac{\vec j}{\epsilon_0}+\dfrac{\part \vec E}{\part t} \end{aligned} \]

這四個方程的積分形式更直接地體現出它們的含義。第一個方程描述了,穿過一個閉合面的電通量始終正比於面內的電荷量,這就是靜電學中的高斯定律,現在我們知道高斯定律對於動態場也始終成立;第二個方程指出電場的環路積分等於穿過該環路的磁通量的變化率,我們將看到這就是法拉第電磁感應定律;第三個方程指出不存在磁荷,這對於動態場也是恆成立的;第三個方程包含了靜磁學中不曾有的一個新的項\(\dfrac{\part \vec E}{\part t}\),這是麥克斯韋對電磁學的修正。

電磁感應

第二個方程\(\nabla \times \vec E = -\dfrac{\part B}{\part t}\)恰好是電磁感應定律的描述,它是歷史上一直被認爲是相互獨立的電與磁這兩個課題的一次大融合。當導線在磁場中以恰當的方式運動時,或當磁鐵相對導線以恰當的方式運動時,或僅僅是磁場以某種方式發生變化時,導線上都會感應出電流。這是法拉第通過實驗發現的定律。現在我們從麥克斯韋方程出發理解這些現象。

迴路中的電流本質上是電子的運動,電子之所以運動是因爲受到了推力。當導線中的電子受到沿導線的淨推力時,就產生了電流。我們可以這樣來描述這個推力,考慮單位電荷所受的沿導線的切向力對整個電路環繞一週的路程所作的線積分,這個量就成爲“電動勢”。那麼某個閉合電路,在整個電路包圍的面積上對\(\nabla \times \vec E = -\dfrac{\part B}{\part t}\)兩邊同時做積分,左式等於\(\big\int_S (\nabla \times \vec E)\cdot \vec{n}\d S\),根據斯托克斯定理它可以寫作\(\big\oint \vec E\cdot \d s\),這恰好沿着電路的一個推力的累積,稱爲“感應電動勢”。而右式恰好等於\(-\big\int_S \dfrac{\part B}{\part t}\cdot \vec{n}\d S=-\dfrac{\part}{\part t}\big\int_S B\cdot \vec{n}\d S\)。因此法拉第定律本質上在說,感應電動勢的大小等於磁通量的變化率。

我們試圖來理解這一定律爲何正確。考慮在磁場中運動的導線,電子因爲運動而受到洛倫茲力,洛倫茲力迫使電子的運動方向發生偏轉,於是產生了沿着導線的運動,這稱爲“動生電動勢”。反之,如果固定迴路而改變磁場,那麼我們不能根據同一論證來得到解答,只能用法拉第通過實驗得出的定律算出磁通量的變化率,得到“感生電動勢”。在物理學的其它領域還沒有一個這麼簡單而又準確的普遍原理,爲了真正理解它需要依據兩種分析。我們也許希望從電場與磁場的相對論統一性的論證中來理解它。另外需要指出的是,通量法則並不總是正確的,在諸如“法拉第圓盤”等例子中,直接使用通量法則會得出錯誤的結論,這是因爲通量法則其實還附加要求電路的“材料”必須保持相同,而法拉第圓盤中電路的材料實際上是在不停變化的。因此最好的方法是回到最基本的定律中去,\(F=q(E+v\times B)\)\(\nabla \times E=-\dfrac{\part E}{\part t}\)始終是正確的。

新的項

下面我們來看第四個方程中新的項\(\dfrac{\part \vec E}{\part t}\)是如何起作用的。

電荷守恆

首先我們會發現,加上了這個新的項之後,第四個方程本身就蘊含了“電荷守恆定律”。對第四個方程兩邊同時求散度, 根據旋度的散度是0左側得到0,於是有\(\dfrac{\nabla \cdot \vec j}{\epsilon_0}+\nabla \cdot \dfrac{\part \vec E}{\part t}=0\)。那麼\(\nabla \cdot \vec j = -\epsilon_0\dfrac{\part}{\part t}\nabla \cdot \vec E\),代入高斯定律得到\(\nabla \cdot \vec j=-\dfrac{\part\rho}{\part t}\),這恰好表明通過任何一個閉合曲面的電荷量等於曲面內電荷的損失量,這恰好就是電荷守恆的一種表述。

行移場

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