洛谷P1824 進擊的奶牛 題解 二分答案

題目鏈接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1824

題目大意：

本題相當於在 \(n\) 個數中選 \(c\) 個數，使得這 \(c\) 個數中相差最小的兩個數之差儘可能地大。

解題思路：

我們首先可以給 \(a_1 \sim a_n\) 從小到大排一下序（這裏有點貪心的思想，你會發現很多涉及貪心的問題在排序之後解決起來都會方便很多）。

然後我們可以開始設計一個 bool check(int x) 函數，用來判斷：在任意相鄰兩個數之差都 \(\ge x\) 的情況下，是否能夠選夠 \(c\) 個數。

接着咱們就來判斷 check(x) 能否成立：

首先，最優解 選 \(a_1\) 肯定沒毛病，

假設有一個最優方案，第一個選的數是 \(a_2\)，第二個選的數是 \(a_5\)，即滿足 \(a_5 - a_2 \ge x\)，那麼 \(a_5 - a_1 \ge x\) 肯定也成立。

在選擇了 \(a_1\) 的情況下，我們可以從 \(a_2\) 開始到 \(a_n\) 選剩下來的數，對應前 \(i\) 個數，我肯定是希望儘可能選最多數字，因爲這樣能夠騰給後面的數字的空間就更大。

假設我上一個選擇的數是 \(a_p\)，對於當前的 \(a_i\) ，若 \(a_i - a_p \ge x\)（相差 \(\ge x\) 了），就選擇 \(a_i\)，同時更新 \(p\) 爲 \(i\)（ \(p\) 時刻對應當前最後一個選的數的下標）。

在整個過程中統計一個一共選了多少個數即可，只要 \(\ge c\) 個，check(x) 函數就返回 true；否則，返回 false。

check函數代碼：

bool check(int x) {
    int p = 1, cnt = 1; // p表示最近一個選擇的點, cnt表示目前已選擇的點數
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i] - a[p] >= x) {
            p = i;
            cnt++;
        }
    }
    return cnt >= c; // 選夠c個就返回true
}

有了 check 函數接下來就是二分答案了。

可以發現，存在一個最大的整數 \(x\)，從 \(1\) 到 \(x\) check 函數都會返回 true；從 \(x+1\) 開始 check 函數就都會返回 false 了。

完整代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int n, c, a[maxn];

bool check(int x) {
    int p = 1, cnt = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i] - a[p] >= x) {
            p = i;
            cnt++;
        }
    }
    return cnt >= c;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", a+i);
    sort(a+1, a+n+1);
    int l = 0, r = 1e9, res;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))
            res = mid, l = mid + 1;
        else
            r = mid - 1;
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}