博弈論是一門很有趣的學科，本文將以博弈問題《三個槍手》爲脈絡，從零基礎開始介紹博弈論，和大家一起博弈論是如何解決實際問題的。希望通過本文，讓大家都能聽懂博弈論。
題目：《三個槍手》
三個小夥子同時愛上了一個姑娘，爲了決定他們誰能娶這個姑娘，他們決定用槍進行一次決鬥。A的命中率是30％，B比他好些，命中率是50％，最出色的槍手是C，他從不失誤，命中率是100％。由於這個顯而易見的事實，爲公平起見，他們決定按這樣的順序：A先開槍，B第二，C最後。然後這樣循環，直到他們只剩下一個人。那麼A第一槍應該怎麼打？誰活下來的概率最大？
以下是初步討論過程，啓發大家思考：
論證： 每個人的目標都是活下來，爲了目標尋找最好的策略。以下開始分人討論 A： •若A開槍射殺了B，則下個開槍是C，C會100%射殺A，這不是一個好策略 •若A開槍射殺了C，則下一輪B會有50%的機率殺掉自己 •若A開槍未打中，則下一輪可以坐山觀虎鬥，所以A最好的策略看似是故意打空槍更好一些 B： •若A已經將C射殺，此時B與A互相射擊，B的生存率高於A •B只能選擇射殺C，因爲只要C活着，都會優先射殺B C： •先消除威脅大的B，然後再殺掉A，只要自己有開2槍的機會，直接獲勝
問題分析 & 博弈論基礎
不得不說，三個槍手在這種你死我亡的死鬥中還能嚴格遵守決鬥順序，實在是令人欽佩😳👍。
接下來，讓我們一起分析這個問題，並在分析的過程中介紹一些博弈論概念。
（1）基本特徵
我們繼續分析這個情況，首先需要明確：這是一場零和博弈，相信大家對這個詞都不陌生。
在零和博弈中，資源總量是固定的，合作不會產生任何額外收益，任何人的收益都意味着其他人等量的損失。
在這場決鬥中，大家爭鬥的資源就是這一個勝者的名額，任何一人的勝利就一定伴隨着其他二人的失敗，沒有任何共贏的途徑。因此這屬於典型的零和博弈。
這種“不是你死，就是我活”的零和博弈屬於典型的非合作博弈，其典型特點是博弈者需要絕對的利己，因爲合作不會共贏的。
同時，這場決鬥還滿足兩個條件：
① 每個人都知道其他人的命中率是多少。即，每個參與者都掌握了其他參與者的信息。
② 每個人行動有先後順序，且後行者能夠觀察到先行者所選擇的行動。
這兩個條件不妨概括爲：“信息透明”和“動態變化”。滿足這兩個條件，這種博弈被稱作完全信息動態博弈。
（2）關鍵——納什均衡
從以上分析中，我們得出了這場博弈的三個特徵：1️⃣ 絕對利己、2️⃣ 信息透明、3️⃣ 動態變化。總結：
每個人想要獲勝，首先需要基於當前形勢（因爲局勢動態變化），並結合對手的信息（因爲信息透明），做出對自己最有利的決策（因爲絕對利己）。
基於以上特徵做出假設：不僅所有人都會做出自己的最優決策，並且他們做出最優決策的前提，是假設其他人也會做出最優決策。因爲信息透明，既然所有人都知根知底，大家就都會試圖預測其他人的決策，都是高手過招，誰的心眼兒也不比誰的少，誰也不覺得其他人會走一步臭棋😏。因此，我們可以認爲：每個人都是在“預判”其他人的最優決策，並以此爲基礎做出自己的最優決策。
這個假設是解答本問題的關鍵，只有建立了這個假設，我們纔可能計算出每位槍手的生存概率。否則，這個問題將變得完全隨機，再多的推理都沒有意義。試想，如果B、C上來一通亂打，不消滅對自己威脅最大的，先一致把槍口對準“小菜雞”A，那A的生存概率，可以說是幾乎沒有，計算A的生存概率還有意義嗎？
爲了方便大家理解，再舉個小栗子：
魚羊問題：A、B二人合夥做飯，A買肉，B下廚；A可以決定買什麼肉，B可以決定怎麼做。A可以買到的肉有：羊肉、魚肉，B會的做法分別是：烤肉、肉湯。A想喫到烤魚或者羊湯，B只想喝湯。A、B都知道對方的喜好，但都只想滿足自己的口味。那麼，A應該怎麼決策才能收益最大？ 分析：這也是一個完全信息動態博弈問題：
完全信息——A、B都清楚對方想喫什麼；動態博弈——只有A先買完肉，B才能烹飪。
對於動態博弈問題，最好的分析工具是博弈樹。博弈樹的根節點代表博弈的開始，葉子節點代表博弈的終止。我們可以畫出這場博弈的博弈樹，如下：
這個博弈樹出現了兩次分叉，分別代表了A、B的兩次選擇，最終得到了4種結果。聰明的讀者們，如果你是A，會怎麼選呢？不妨用剛纔的假設推理：
因爲A知道：B選擇做湯對B的收益更高；
所以A假定：B一定會選擇對B收益更高的決策——做湯（預判其他人會做出最優決策）；
於是A推演：如果A選了魚肉，也得不到烤魚，只會得到魚湯；如果A選了羊肉，可以得到羊湯，而羊湯對A的收益更高。
因此，A的最佳決策是選擇羊肉。A、B二人最終達成的最佳選擇是羊湯。
在魚羊問題中，正因爲A對B的選擇進行了預判，才讓自己得到了最大收益。
當我們發現，在一場博弈中，所有參與者都做到如此的“機關算盡”，在任何情況下都做出了最優決策，讓自己得到最大收益。當每個人的收益都無法再繼續擴大，這時博弈到達了一種均衡狀態，我們稱這個狀態爲納什均衡。所有參與者的最優策略集合被稱爲均衡解/均衡點。在納什均衡狀態下，各方的收益/勝率纔是可能被計算的。一局博弈也可能存在不止一個納什均衡解。
我們可以把博弈看作天平，如果每個博弈者都使出了渾身解數，讓勝利的天平向自己傾斜，直到任何一方都無法再擴大自己的優勢，達到一種“僵持”，那這就是納什均衡狀態。
比如在上面的魚羊問題中，“羊湯”就是這個博弈的納什均衡點。在該點，A、B雙方均獲得了各自的最高收益。
Tips：納什均衡（Nash Equilibrium）和約翰·納什 納什均衡是指這樣一種策略組合，在該策略組合中，每一個博弈者都相信，在給定競爭對手策略的情況下，他選擇了最優策略。任何一位玩家在此策略組合下，單方面改變自己的策略都不會提高自身的收益。 有趣的是，納什均衡下所達到的個人最大收益，並不一定能帶來整體的最大收益，比如經典的博弈案例“囚徒困境”，感興趣的讀者可以去看一看。 1950年，納什均衡由22歲的美國數學家約翰·納什提出，發表在他27頁的博士論文《非合作博弈》中。以“納什均衡”理論爲核心的非合作博弈論一經發布，隨即引起轟動，在經濟學以及與經濟學原理相關的金融、會計、營銷和政治等各個學科都掀起了巨大變革，奠定了現代主流博弈論和經濟理論的根本基礎。1994年，約翰·納什獲得諾貝爾經濟學獎。以約翰·納什爲原型的電影《美麗心靈》獲得了第74屆奧斯卡金像獎最佳導演與最佳影片獎。
（3）子博弈的納什均衡
在動態博弈問題中，博弈會按順序分多次進行，在整個博弈過程中會出現若干中間狀態，這些狀態源於這場博弈，由於博弈還未結束，因此如果將中間態視爲開始，也可以看作一場新的博弈，我們把這些博弈的中間狀態稱爲子博弈。對應到博弈樹中，博弈樹的每個非葉子節點都可看作一個子博弈。
如何理解子博弈： 圍棋、象棋等棋類運動是一種典型的動態博弈遊戲。整場博弈始於棋局開始，而「殘局」就可以視作整場博弈的子博弈。 棋類運動中的納什均衡： 在棋類運動中，讓雙方都“不喫虧”的下法也屬於納什均衡。象棋中的“當頭炮，把馬跳”，圍棋中的定式，這種幾乎約定俗成的經典下法，使雙方都能滿意，幾乎成爲了雙方的最優解，其本質就是納什均衡。
回到上文的魚羊問題，讓我們再次從子博弈和納什均衡的角度分析A的最佳決策。當A第一次做出決策後，我們看看A的兩個選擇所形成的兩個子博弈：
在“羊肉”分支的子博弈中，“羊湯”決策對B的收益更高，B選擇該決策收益最大，在這一子博弈中構成納什均衡；
在“魚肉”分支的子博弈中，“魚湯”決策對B的收益更高，B選擇該決策收益最大，在這一子博弈中構成納什均衡。
（這兩個子博弈是B的回合，所以只需讓B的收益最大）
那麼，我們就可以認爲：“羊湯”決策是“羊肉”子博弈的納什均衡解；“魚湯”決策是“魚肉”子博弈的納什均衡解。
（4）反向歸納法
如上面的例子，如果一個子博弈可以確定一個唯一的納什均衡解，那就意味着這個子博弈擁有一個讓博弈者利益最大的最優解，我們相信，只要博弈者願意讓自己的利益最大，他就一定會做出這個最優選擇。因此在納什均衡的假設下，我們可以用這個最優解作爲這個子博弈的結果。這正是我們之前提到的核心原則：“每個人都假設其他人也會做出最優決策”。
基於這個原理，我們可以用子博弈的最優解來作爲子博弈的結果，即：
在“羊肉”節點，雙方的預期收益爲“ A：✅ B：✅”，在“魚肉”節點，雙方的預期收益爲“ A：❌ B：✅”。
顯然在這二者中，羊肉節點爲納什均衡解，因此A的最佳選擇就是羊肉。與之對應，羊湯就是整場博弈的納什均衡解。很遺憾，魚湯雖然是魚肉子博弈的納什均衡解，但不是整場博弈的納什均衡解。 由此，魚羊問題的整棵博弈樹爲：
以上，我們從納什均衡的角度重新推導了魚羊問題，這也是求解完全信息動態博弈問題的基本方法：
從博弈樹的所有葉子節點開始，找出所有葉子節點的納什均衡解，再反向推導回上一層節點，並得出上一層節點的納什均衡解，直到博弈樹根節點，最終得出整場博弈的納什均衡解。由於最終的納什均衡解是從子博弈中層層“精煉”而來，整個求解過程被稱爲子博弈精煉納什均衡，這個基本方法被稱爲反向歸納法。
簡單理解，反向歸納法是一種基於結果去反向推理的思維，通過預測不同決策所帶來不同結果的好壞，從而選擇最好的決策。
問題求解
恭喜你！讀到這裏，你已經瞭解了博弈論的基本概念，並掌握瞭解決博弈問題的基本方法。
接下來讓我們進入正題，試着用反向歸納法解決一下「三個槍手」問題。
（1）畫博弈樹
分析這類動態博弈問題的第一步是：畫出博弈樹。
從第一回合開始，槍法最差的A先開槍，他有三個選擇：打B、打C，還有故意放空槍。
我們發現，對A而言，情況有點不確定性：當A選擇打B或打C時，結果不確定。因爲A只有30%的機率命中，而有70%的概率打不中，且沒打中和放空槍的效果是一樣的。因此，A的三個選擇只會帶來三個可能的結果：命中B、命中C、沒打中。我們畫出第一輪的博弈樹，如下圖所示：
在上面的博弈樹中，每個決策都可能導致“沒打中”的局面發生，因爲它們是一種情況，我們就只展開一個這類節點。
繼續按照這個思路展開博弈樹，讓我們看看下一回合局勢會如何發展：
如上圖所示，到了第二回合，輪到B開槍。這時B會面臨三種可能的情況：
（1）如果B已經被A打死了，那就只能遺憾跳過本輪，直接輪到C的回合（如第一個分支所示）；
（2）如果C已經被A打死了，那場上只剩下兩個人，二人對射即可（如第二個分支所示）。補充一句，在只剩兩個人時，我們不考慮放空槍的選擇，這顯然沒有意義。
（3）如果A沒打中，那場上還有三個人，因此此時B仍有三個選擇：打A、打C和放空槍（如第三個分支所示）。
到第三回合，終於輪到百發百中的神槍手C出場啦！此處爲了簡化討論，我們不妨排除掉C打空槍的選項。原因有二：
（1）打空槍是爲了鷸蚌相爭，漁翁得利，而C作爲全場最強，會被其他人當作最大威脅，顯然難以“坐山觀虎鬥”。
（2）如果C本輪放空槍，博弈局面又將回到起點（輪到A開槍，三人都存活），而只要C開槍，就一定可以淘汰一個對手。對C而言，放棄這一先手機會顯然是不明智的。
那麼我們就繼續展開博弈樹，可以看到：如果本回合場上只剩下兩個人，C開槍一定會擊殺對手，從而在本輪取得勝利；如何本回合三人都存活，C殺掉一個，還會剩下一個，進入後面的博弈。我們繼續將剩下的情況全部推演完畢。整棵博弈樹如下圖所示：
可以看到，只要C不死，最快到第三回合，也就是C第一次開槍時，最遲到第六回合，也就是C第二次開槍時，整場博弈結束。
有的讀者會發現，這棵樹上有兩個被標記爲黃色的節點，沒有繼續展開，它們是博弈過程中，C首先被淘汰後出現的特殊情況，我將它們稱爲【B先手，AB對射】和【A先手，AB對射】。我們按下不表，稍後我們詳細討論這兩種情況。
（2）求支付矩陣
畫出了博弈樹，第二部是求每個葉子節點的支付矩陣。什麼叫「支付矩陣」？這個名詞其實有點難懂，我們換個叫法，它又被稱爲「收益矩陣」，用來描述每位博弈者在當前節點下的收益情況。這樣是不是好理解多了。舉個例子，還記得我們的老朋友——魚羊問題嗎？最右邊的一列，分別表示這個菜餚是否滿足了A、B二人的胃口，它就是支付矩陣。
爲什麼要求支付矩陣呢？因爲支付矩陣就是對當前博弈的判斷，反映出當前情形對誰更有利，對誰更不利，這樣才能方便做出最優選擇。
回到槍手問題中，如何衡量每個人的收益？這是一個零和博弈，所有人追求的就是成爲最後的生還者，那麼「勝率」就成爲衡量收益的標杆。求葉子節點的“勝率矩陣”也很簡單，誰贏了，他的勝率就是1，敗者是0。
我們用【A，B，C】的順序，分別代表三個槍手的勝率，例如C獲勝，對應支付矩陣就是【0，0，1】。我們將支付矩陣標註到博弈樹的所有葉子節點上，如圖中所有綠色的節點：
（3）反向歸納
在上面的兩步中，我們已經畫出了博弈樹，並求出了葉子節點的支付矩陣。前兩步都是準備工作，接下來就是第三步，也是求解過程中最核心的邏輯：反向歸納法。在這個博弈中，有幾個需要提示的規則：
（1）概率問題：當一個選擇可能有多個結果時，這個選擇的支付矩陣是多個結果的支付矩陣的加權平均。如B選擇打C，命中率是50%，如果命中後的支付矩陣是【0，1，0】，未命中的支付矩陣是【0，0，1】，那麼，這個選擇的支付矩陣就是【0，1，0】* 50% + 【0，0，1】* 50% = 【0，0.5，0.5】。也就是說，這個選擇有50%的概率B獲勝，有50%的概率C獲勝。
（2）最優選擇：當一個人面臨多個選擇時，他一定會從每個選擇的支付矩陣中，選擇他自己勝率最高的那個。這也就是他這個子博弈的納什均衡解。
大家可以用上面兩個提示，試着反向推導一下博弈樹，看看我們得到的結果是否一致：
以上是用葉子節點反向歸納後得到的博弈樹，所有已經求出支付矩陣的節點被標記爲了綠色。我們注意到，在圖中出現了一個“❌”和一個“✅”，這代表一次分支選擇，被標記“✅”的分支是被選中的納什均衡解，被標記“❌”的分支則是被淘汰的分支。
讓我們看看這次選擇：這個子博弈出現在第三回合，此時輪到C開槍，A、B都存活，C需要選擇打A還是打B。從圖中不難看出，C如果選擇打A，自己的勝率是0.5，如果選擇打B，自己的勝率會提升到0.7，因爲他先解決了更強的對手。因此C一定會選擇後者，那麼這個子博弈的支付矩陣，就取這個納什均衡解的支付矩陣。
（4）「菜雞互啄」問題
當問題推導到這裏時，我們發現無法進行下去了——因爲我們前面還留了兩個節點沒有展開，無法求支付矩陣。那就讓我們看看如何處理這兩個節點吧。
這兩個子博弈是在博弈過程中，C首先被淘汰後出現的特殊情況，分別是【B先手，AB對射】和【A先手，AB對射】。此時，由於場上只剩下A、B，因此二人的射擊目標只有對方，但由於A、B二人都不能保證百發百中，因此射不到對方的情況理論上永遠存在（一般這種情況被稱作：菜雞互啄），如果無限推演下去，博弈樹只會陷入死循環，因爲沒有出口。這下該如何計算雙方的勝率呢？讓我們以【A先手，AB對射】爲例，先分析一下每輪情況。
設A的命中率爲a，B的命中率爲b，A先手，則每輪發生的情況的概率如下：
| 回合一：A | 回合二：B | 回合三：A | 回合四：B | ... | |
| 命中的概率 | a | (1-a)b | (1-a)(1-b)a | (1-a)(1-b)(1-a)b | ... |
| 未命中概率 | 1-a | (1-a)(1-b) | (1-a)(1-b)(1-a) | (1-a)(1-b)(1-a)(1-b) | ... |
上表是怎麼算出來的？二者只要有一方命中，遊戲即會結束。如果未命中，則在本輪未命中概率的基礎上，分別乘以下個人的命中率，就會分別得到下輪的命中概率和未命中概率：
如何計算A的勝率？A的勝率，即爲A每回合命中的概率之和，即：
是不是看起來很眼熟？你沒有猜錯，我們需要使用微積分了（死去的微積分突然攻擊我😭）。友情建議：看到數學就頭大的讀者請自行跳過這部分。
上面的式子可以表示爲：
我們可以發現，這是一個冪級數求和問題。如果還沒太看清，我們令
我們先判斷斂散性：由於
因冪級數
根據公式
這樣，我們就得到了A先手，A、B對射時A的勝率。我們知道A的命中率爲30%，B的命中率是50%，我們將
同樣的公式，當轉換爲B先手，A、B對射時，
（5）得出答案
有了上一步計算出來的兩個特殊子博弈中A、B的勝率，我們可以得出：
【A先手，AB對射】的支付矩陣是【6/13，7/13，0】。
【B先手，AB對射】的支付矩陣是【3/13，10/13，0】。
繼續完善博弈樹，並完成後續的反向歸納過程，最終得到的結果是：
我們通過反向歸納法得到了A第一回合的三個選擇的支付矩陣，比較三種選擇下A的勝率：
A打B——26.7%；A打C——33.6%；打空槍——38.1%，因此我們終於可以得出這個問題的答案：A的最優策略是打空槍，生存概率是38.1%（99/260）.
這個答案同樣也論證了我們一開始的預期——A最好的策略看似是故意打空槍更好一些。有趣的是，這場博弈中，A、B、C的勝率分別爲38.1%、26.9%和35%（納什均衡狀態下），看來槍法最差的A生存下來的概率果然也是最高的呢！當然，個人認爲，他之所以能擁有最高勝率，主要還是因爲他可以先手啦。
以上，我們就給出了「三個槍手」動態博弈問題的解決方案，希望通過以上解答，帶大家搞懂博弈論的基本原理。想必一定有讀者有疑問：太麻煩了，難道每次都要畫一遍博弈樹，手動推演一遍不成？彆着急，我將給出以上問題的代碼實現，請看下回分解。
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