迭代：是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某 段代码，直到这个条件不再满足。
以 for、while 为代表
总的来说，for 循环的代码更加紧凑，while 循环更加灵活，两者都可以实现迭代结构。选择使用哪一个应该 根据特定问题的需求来决定。
递归：是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。
它主要包含两个阶段。
1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。
2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。
而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。
1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。
2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。
3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。
以求和为例对比：对比普通递归和尾递归，两者的求和操作的执行点是不同的。 ‧
普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧
求和操作是在“归”的过程中执行的，每层返回后都要再执行一次求和操作。 ‧
尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他 操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。
求和操作是在“递”的过程中执行的，“归”的过程只需层层返回。
小结：从计算角度看，迭代与递归可以得到相同的结果，但它们代表了两种完全不同的思考和解决问题的范 式。 ‧ 迭代：“自下而上”地解决问题。从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。 ‧ 递归：“自上而下”地解决问题。将原问题分解为更小的子问题，这些子问题和原问题具有相同的形式。
1. 调用栈
递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等。 这将导致两方面的结果。 ‧ 函数的上下文数据都存储在称为“栈帧空间”的内存区域中，直至函数返回后才会被释放。因此，递归 通常比迭代更加耗费内存空间。 ‧ 递归调用函数会产生额外的开销。因此递归通常比循环的时间效率更低。
***：在实际中，编程语言允许的递归深度通常是有限的，过深的递归可能导致栈溢出错误。***
递归树：以“斐波那契数列” 为例。 给定一个斐波那契数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ，求该数列的第 𝑛 个数字。 设斐波那契数列的第 𝑛 个数字为 𝑓(𝑛) ，
即 𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑛 − 1) + 𝑓(𝑛 − 2) 。
在函数内递归调用了两个函数，这意味着从一个调用产生了两个调用分支。最终将产生一棵层数为 𝑛 的 递归树。
从本质上看，递归体现了“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略至关重要。
‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维 方式。
‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分析。
迭代和递归使用场景：
迭代：适用于简单循环任务，代码直观、可读性好
递归：适用于子问题分解，如树、图、分治、回溯等，代码结构简洁、清晰
应该如何准确预估一段代码的运行时间？
1. 确定运行平台，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
2. 评估各种计算操作所需的运行时间，例如加法操作 + 需要 1 ns ，乘法操作 * 需要 10 ns ，打印操作 print() 需要 5 ns 等。
3. 统计代码中所有的计算操作，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。
时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。
相较于直接统计算法的运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？
‧ 时间复杂度能够有效评估算法效率。例如，算法 B 的运行时间呈线性增长，在 𝑛 > 1 时比算法 A 更慢， 在 𝑛 > 1000000 时比算法 C 更慢。事实上，只要输入数据大小 𝑛 足够大，复杂度为“常数阶”的算法 一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势的含义。
‧ 时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因 此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将 “计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。
‧ 时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很 大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小 𝑛 较小时，算法 B 明显优于算法 C 。在 这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍 然是评判算法效率最有效且常用的方法。