二叉树
「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二” 的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。
每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left‑child node」和「右子节点 right‑child node」， 该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。
1. 初始化二叉树
与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。
2. 插入与删除节点
与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。
需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该 节点及其所有子树。
完美二叉树
「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 0 ，其余所有节点的度都为 2 ；若树的高度为 ℎ ，则节点总数为 2 ℎ+1 − 1 ，呈现标准的指数级关系， 反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
完全二叉树
完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
完满二叉树
「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
平衡二叉树
「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
二叉树的退化
当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所 有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。
‧ 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
‧ 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 𝑂(𝑛) 。
二叉树遍历
从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而， 树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。 二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
层序遍历
「层序遍历 level‑order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth‑first traversal」，也称「广度优先搜索 breadth‑first search, BFS」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进” 的规则，两者背后的思想是一致的。
广度优先遍历复杂度分析
‧ 时间复杂度为 𝑂(𝑛) ：所有节点被访问一次，使用 𝑂(𝑛) 时间，其中 𝑛 为节点数量。
‧ 空间复杂度为 𝑂(𝑛) ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 (𝑛 + 1)/2 个节点，占用 𝑂(𝑛) 空间
前序、中序、后序遍历
前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth‑first traversal」，也称「深度优先搜索 depth‑first search, DFS」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。 展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一 圈，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
以下展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。
前序遍历的递归过程杂度分析
‧ 时间复杂度为 𝑂(𝑛) ：所有节点被访问一次，使用 𝑂(𝑛) 时间。
‧ 空间复杂度为 𝑂(𝑛) ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 𝑛 ，系统占用 𝑂(𝑛) 栈帧空间。
二叉树数组表示
在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。
表示完美二叉树
给定一棵完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。 根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若某节点的索引为 𝑖 ， 则该节点的左子节点索引为 2𝑖 + 1 ，右子节点索引为 2𝑖 + 2 。图展示了各个节点索引之间的映射关系。
映射公式的角色相当于链表中的指针。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左 （右）子节点。
表示任意二叉树
完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 None 。由于层序遍历序列并不包含这些 None ，因此我们无法仅凭该序列来推测 None 的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。
为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 None 。这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，None 只出现在最底层且靠右的位置，因此所有 None 一定出现在层序遍历序列的末尾。 这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 None ，非常方便。
二叉树的数组表示主要有以下优点。
‧ 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
‧ 不需要存储指针，比较节省空间。 ‧ 允许随机访问节点。
数组表示也存在一些局限性。
‧ 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
‧ 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
‧ 当二叉树中存在大量 None 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。
二叉搜索树
「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件。
1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值。
2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. 。
二叉搜索树的操作
我们将二叉搜索树封装为一个类 BinarySearchTree ，并声明一个成员变量 root ，指向树的根节点。
1. 查找节点
给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 cur ，从二叉 树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。
‧ 若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
‧ 若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。
‧ 若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。
二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的 高度，当二叉树平衡时，使用 𝑂(log 𝑛) 时间。
2. 插入节点
给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图所示。
1. 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
2. 在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。
在代码实现中，需要注意以下两点。
‧ 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插 入，直接返回。
‧ 为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
与查找节点相同，插入节点使用 𝑂(log 𝑛) 时间。
3. 删除节点
先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索 树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三 种情况，执行对应的删除节点操作。
当待删除节点的度为 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
当待删除节点的度为 2 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树 “左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。 假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如图示。
1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。
2. 用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。
删除节点操作同样使用 𝑂(log 𝑛) 时间，其中查找待删除节点需要 𝑂(log 𝑛) 时间，获取中序遍历后继节点 需要 𝑂(log 𝑛) 时间。
4. 中序遍历有序
如图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 → 根 → 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 < 根 节点 < 右子节点”的大小关系。 这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。 利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 𝑂(𝑛) 时间，无须进行额外的排序操作， 非常高效。
二叉搜索树的效率
给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 log 𝑛 轮循环内查找任意节点。 然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 𝑂(𝑛) 。
二叉搜索树常见应用
‧ 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
‧ 作为某些搜索算法的底层数据结构。
‧ 用于存储数据流，以保持其有序状态。
AVL 树
在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。在这种情况下， 所有操作的时间复杂度将从 𝑂(log 𝑛) 劣化为 𝑂(𝑛) 。
完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之劣化。
AVL 树常见术语
AVL 树既是二叉搜索树，也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜 索树 balanced binary search tree」。
1. 节点高度
由于 AVL 树的相关操作需要获取节点高度，因此我们需要为节点类添加 height 变量。“节点高度”是指从该节点到它的最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点 的高度为 0 ，而空节点的高度为 −1 。
2. 节点平衡因子
节点的「平衡因子 balance factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0 。
设平衡因子为 𝑓 ，则一棵 AVL 树的任意节点的平衡因子皆满足 −1 ≤ 𝑓 ≤ 1 。
AVL 树旋转
AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，旋转操作既能保持“二叉搜索树”的性质，也能使树重新变为“平衡二叉树”。 我们将平衡因子绝对值 > 1 的节点称为“失衡节点”。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、 左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。
1. 右旋
如图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡 节点为根节点的子树，将该节点记为 node ，其左子节点记为 child ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树 恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的性质。
如图所示，当节点 child 有右子节点（记为 grand_child ）时，需要在右旋中添加一步：将 grand_child 作为 node 的左子节点。
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上需要通过修改节点指针来实现。
2. 左旋
相应地，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行图所示的“左旋”操作。
当节点 child 有左子节点（记为 grand_child ）时，需要在左旋中添加一步：将 grand_child 作为 node 的右子节点。
可以观察到，右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的。基于对称 性，我们只需将右旋的实现代码中的所有的 left 替换为 right ，将所有的 right 替换为 left 。
3. 先左旋后右旋
对于图中的失衡节点 3 ，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先对 child 执行“左旋”， 再对 node 执行“右旋”。
4. 先右旋后左旋
如图所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 child 执行“右旋”，再对 node 执行“左旋”。
5. 旋转的选择
图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、先左旋后右旋、先右旋后左旋、左旋 的操作。
AVL 树常用操作
1. 插入节点
AVL 树的节点插入操作与二叉搜索树在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
2. 删除节点
类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
AVL 树典型应用
‧ 组织和存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的场景。
‧ 用于构建数据库中的索引系统。
‧ 红黑树在许多应用中比 AVL 树更受欢迎。这是因为红黑树的平衡条件相对宽松，在红黑树中插入与删 除节点所需的旋转操作相对较少，其节点增删操作的平均效率更高。
树的更多知识参考学习
Q：对于只有一个节点的二叉树，树的高度和根节点的深度都是 0 吗？
是的，因为高度和深度通常定义为“经过的边的数量”
Q：二叉树中的插入与删除一般由一套操作配合完成，这里的“一套操作”指什么呢？可以理解为资源的子 节点的资源释放吗？
拿二叉搜索树来举例，删除节点操作要分三种情况处理，其中每种情况都需要进行多个步骤的节点操作。
Q：为什么 DFS 遍历二叉树有前、中、后三种顺序，分别有什么用呢？
与顺序和逆序遍历数组类似，前序、中序、后序遍历是三种二叉树遍历方法，我们可以使用它们得到一个特 定顺序的遍历结果。例如在二叉搜索树中，由于节点大小满足 左子节点值 < 根节点值 < 右子节点值 ，因此 我们只要按照“左 → 根 → 右”的优先级遍历树，就可以获得有序的节点序列。
Q：右旋操作是处理失衡节点 node、child、grand_child 之间的关系，那 node 的父节点和 node 原来的连接 不需要维护吗？右旋操作后岂不是断掉了？
我们需要从递归的视角来看这个问题。右旋操作 right_rotate(root) 传入的是子树的根节点，最终 return child 返回旋转之后的子树的根节点。子树的根节点和其父节点的连接是在该函数返回后完成的，不 属于右旋操作的维护范围。
Q：在 C++ 中，函数被划分到 private 和 public 中，这方面有什么考量吗？为什么要将 height() 函数和 updateHeight() 函数分别放在 public 和 private 中呢？
主要看方法的使用范围，如果方法只在类内部使用，那么就设计为 private 。例如，用户单独调用 updateHeight() 是没有意义的，它只是插入、删除操作中的一步。而 height() 是访问节点高度，类似于 vector.size() ，因此设置成 public 以便使用。
Q：如何从一组输入数据构建一棵二叉搜索树？根节点的选择是不是很重要？
是的，构建树的方法已在二叉搜索树代码中的 build_tree() 方法中给出。至于根节点的选择，我们通常会 将输入数据排序，然后将中点元素作为根节点，再递归地构建左右子树。这样做可以最大程度保证树的平衡 性。
Q：广度优先遍历到最底层之前，队列中的节点数量是 2 ℎ 吗？
是的，例如高度 ℎ = 2 的满二叉树，其节点总数 𝑛 = 7 ，则底层节点数量 4 = 2ℎ = (𝑛 + 1)/2 。