原创 凸函數的對偶函數（conjugate）
啓發： 由上次關於凸函數上境圖的刻畫可以得到一個描述f（凸函數）的一種方式。即，令 F∗={(x∗,μ∗)|h(x)=<x,x∗>−μ∗,h是不大於f的仿射函數} 也就是說，h對應於那些包含epif 的半空間對應的超平面。那
2020-06-25 14:34:23
原创 循環矩陣
今天講講線性代數中的一類特殊的矩陣———循環矩陣。 形如： ∥∥∥∥∥∥∥a1anan−1⋯a2a2a1an⋯a3a3a2a3⋯a4⋯⋯⋯⋯⋯anan−1an−2⋯a1∥∥∥∥∥∥∥ 的矩陣稱爲循環矩陣，記爲A=Circ(a1
2020-06-25 14:34:23
原创 凸集的分離定理
在Rn 中，我們有個直觀的事實是：一個超平面（必須是 n-1 維的）將整個空間分爲兩個部分，也就是說這個超平面將Rn 分成了兩個閉的半空間，這兩個閉的半空間稱爲與Ｈ相關的閉的半空間。同樣的可以定義與H相關的兩個開的半空間。 （一
2020-06-25 14:34:23
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原创 凸函數上境圖的刻畫
在文章《凸集分離定理》的最後我們知道，一個閉凸集是所有包含它的閉的半空間的交集。設f是Rn 一個閉的凸函數，那麼它的上境圖是一個閉凸集，所以一個閉的凸函數的上境圖是Rn+1 中所有包含這個上境圖的交集。 下面我們先來刻畫Rn+1
2020-06-25 14:34:23
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原创 回收函數（recession function）
上次我們講到凸集的回收性質，現在我們將上次的結果應用到凸函數上。 一下都假設f 是Rn 上一個不恆等於+∞ 的凸函數，那麼它的上境圖epif 是Rn+1 一個非空凸集，所以這個非空凸集有回收錐0+(epif) . (y,v)∈
2020-02-23 08:15:17
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原创 凸集的極錐（polars）
在支撐函數的專題中我們知道：設f 是一個正常的凸函數，如果f 是示性函數，那麼它的共軛函數f∗ 是一個正齊次的凸函數，且如果f 是正齊次的，那麼f∗ 也是正齊次的。所以如果f 是正齊次的示性函數，那麼f∗ 也是正齊次的示性函數。
2020-02-23 08:15:17
原创 支撐函數（support function）
有時候我們對一個線性函數⟨⋅,x∗⟩ 在一個凸集C 上的極值感興趣，我們研究這個問題的方法是討論當x∗ 變化時，極值如何變化。所以我們有如下定義： 定義1. 凸集C 的支撐函數（support function）δ∗(x∗|C)
2020-02-23 08:15:17
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原创 回收錐（recession cone）
由於我們主要研究凸函數f ,方法是以研究上境圖epif 來代替直接的函數上的研究。而上境圖的一個很普遍的特性是，它通常是無界的，所以我們要研究集合在無窮遠處的情況。 定義 設D 是一個方向，C 是一個凸集（無界），稱C 在D
2020-02-23 08:15:17
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原创 矩陣分解
我們考慮複數域上的矩陣。 1.Schur上三角化 每個複方陣都酉相似於某個上三角矩陣。 證明：（數學歸納法） 設A∈Mn ,對階數n作歸納法。 n=1 ,顯然成立。 假設結論對n−1 階矩陣成立，現在考慮n階的A .
2020-02-23 08:15:17
原创 Quotient Space
Quotient Space Suppose that XX is a normed space, and YY is a closed subspace of XX , we can define an equivalent rel
2018-08-27 12:48:37
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原创 Quotient Space
Quotient Space Suppose that XX is a normed space, and YY is a closed subspace of XX , we can define an equivalent rel
2018-08-27 12:48:37
原创 共軛梯度法(Conjugate Gradient Method)
我們要求解線性方程組 Ax=b 其中A 是對稱正定矩陣（spd），給定Rn 中n個線性無關的向量r0,r1,⋯,rn−1 , 我們想要構造另外的一組基p0,p1,⋯,pn−1 , 並滿足 ⟨pi,pj⟩=0,∀i≠j 其中內積⟨
2018-08-27 12:48:37
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原创 Complex analysis review 4
The zeros of analytic functions Use Liouville theorem, we can prove the fundamental theorem of algebra. Theorem 1 If p(
2018-08-27 12:48:37
原创 Ekeland Variational Principles
Basic Forms {Theorem 1.1} Let (X,d) be a complete metric space and let f:X→R⋃{+∞} be a lsc function bounded from be
2018-08-27 12:48:37
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原创 Complex analysis review 5
Maximum modulus principle and Schwarz lemma Average Vaule Properties f(z0)=12πi∫∂D(z0,r)f(ξ)ξ−z0dξ=12πi∫2π0f(z0+reit)ir
2018-08-27 12:48:37
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