劍指offer—斐波那契數列

常規解法，使用循環

#include <stdio.h>
long long Circ(int n)
{
	long long n1=0,n2=1,n3=n;
        int i=n;
        for(;i>1;i++)
        {
            n3=n1+n2;
            n1=n2;
            n2=n3
        }
    return n3;     
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d",&n);
	printf("%lld",Circ(n));
    return 0;
}

時間複雜度 :O(n)

空間複雜度 :O(1)

遞歸解法

#include <stdio.h>
int Fib(int n)
{
       return n<1?n:Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d", Fib(n));
	return 0;
}

遞歸時間複雜度 : 遞歸次數 * 每次遞歸數    2^n   *   1

遞歸空間複雜度 : 遞歸深度 * 每次棧幀對象個數     n   *   1

時間複雜度 : O(2^n)

空間複雜度 : O(n)

減少時間複雜度，避免重複計算，使用static保留之前數值

#include <stdio.h>
int fib(int n)
{
	static int i = 1;
	static int j = 1;
	switch (n)
	{
	case 1:
		return i;
	case 2:
		return j;
	default :
		i += j;
		j += i;
		fib(n-2);
	}
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d", fib(n));
	return 0;
}

擴展

青蛙跳臺階

題目一：一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

解法：相當與斐波那契數列fib(n-1)+fib(n-2)，但要考慮效率問題，因此最好使用常規求法

題目二：一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級......它也可以跳上n級，此時該青蛙跳上一個n級的臺

階總共有多少種跳法

解法：用數學歸納法可以證明f(n)=2^(n-1)

題目一程序如下：

#include <stdio.h>
int fib(int n)
{
	int i = 1;
	int j = 2;
	int k = 0;
	int ret = 0;
	if(n == 1)
	{
		return i;
	}
	if(n == 2)
	{
		return j;
	}
	for(k = 3; k <= n; k++)
	{
	    ret = i + j;
		i = j;
		j = ret;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d",fib(n));
}

題目二程序如下：

#include <stdio.h>
int frb (int n)
{
	int ret = 1;
	if(n == 1)
	{
		return ret;
	}
	else
	{
		n = n - 1;
		while(n)
		{	
		    ret *= 2;
		    n--;
		}
		return ret;
	}
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d",frb(n));
	return 0;
}