#數據結構與算法學習筆記#劍指Offer7：斐波那契數列的四種編程實現方法 + 測試用例（Java、C/C++）

2018.8.2

斐波那契數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

公式法表示爲：

斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖爲例子而引入，故又稱爲“兔子數列”。想要詳細瞭解可以點維基百科傳送門。

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編程實現一個斐波那契（Fibonacci）數列有四種方法：

方法一：遞歸實現方法（易於理解，易於實現，但效率低，重複計算次數多，計算量隨n增大而急劇增大）

方法二：循環正推（對累加過程進行模擬，複雜度o(n)，高效實用）

方法三：改進版循環正推（動態規劃，簡潔高效）

方法四：矩陣公式（需要用到矩陣公式，複雜度o(logn)，程序實現複雜，很少人知道，但是很出彩）

補充說明方法四：                                    

有了這個公式，我們只要求得矩陣B = A{{1, 1}, {1, 0}} ^ (n - 1)，再取B[0][0]就可以，或者求出矩陣C = A{{1, 1}, {1, 0}} ^ (n - 2)，再直接用C[0][0] + C[0][1]即可。

矩陣乘方運算如果能直接用一些矩陣類（比如OpenCV裏的Mat），那編程實現就是分分鐘的事情了。如果要自己實現的話也不會特別難，問題是從0開始循環，N次方的矩陣運算要進行N次運算，時間複雜度還是o(n)，還是效率不高。因此我們需要考慮乘方的如下性質：

要求得N次方，只需要求N/2次方，結果再平方一下即可，我們可以用遞歸的思路來實現。

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題目描述

大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項爲0）。n<=39

測試用例：

// ====================測試代碼====================
void Test(int n, int expected)
{
    if(Fibonacci_Solution1(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution1 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution1 failed.\n", n);

    if(Fibonacci_Solution2(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution2 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution2 failed.\n", n);

    if(Fibonacci_Solution3(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution3 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution3 failed.\n", n);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    Test(0, 0);
    Test(1, 1);
    Test(2, 1);
    Test(3, 2);
    Test(4, 3);
    Test(5, 5);
    Test(6, 8);
    Test(7, 13);
    Test(8, 21);
    Test(9, 34);
    Test(10, 55);

    Test(40, 102334155);

    return 0;
}

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Java實現（方法二）：

/**
 * 
 * @author ChopinXBP 要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項爲0）。
 * 
 *
 */

public class Fibonacci_7 {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int n = Fibonacci(5);
		System.out.println(n);
	}

	public static int Fibonacci(int n) {
		if (n == 0)
			return 0;
		else if (n == 1 || n == 2)
			return 1;

		int num1 = 1;
		int num2 = 2;
		int sum = 2;

		for (int i = 0; i < n - 3; i++) {
			sum = num1 + num2;

			if (i % 2 == 0) {
				num1 += num2;
			} else if (i % 2 == 1) {
				num2 += num1;
			}
		}

		return sum;
	}

}

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C++實現示例（方法一）：

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;

    if(n == 1)
        return 1;

    return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

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C++實現示例（方法二）：

long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
{
    int result[2] = {0, 1};
    if(n < 2)
        return result[n];

    long long  fibNMinusOne = 1;
    long long  fibNMinusTwo = 0;
    long long  fibN = 0;
    for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)
    {
        fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;

        fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
        fibNMinusOne = fibN;
    }

     return fibN;
}

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C++實現示例（方法三）：

class Solution {
public: 
	int Fibonacci(int n) { 
		int f = 0, g = 1; 
		while(n--){ 
			g += f;
			f = g - f; 
		} 
	return f;
	}
};

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C++實現示例（方法四）：

#include <cassert>

struct Matrix2By2
{
    Matrix2By2
    (
        long long m00 = 0, 
        long long m01 = 0, 
        long long m10 = 0, 
        long long m11 = 0
    )
    :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 
    {
    }

    long long m_00;
    long long m_01;
    long long m_10;
    long long m_11;
};

Matrix2By2 MatrixMultiply
(
    const Matrix2By2& matrix1, 
    const Matrix2By2& matrix2
)
{
    return Matrix2By2(
        matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
    assert(n > 0);

    Matrix2By2 matrix;
    if(n == 1)
    {
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    }
    else if(n % 2 == 0)
    {
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else if(n % 2 == 1)
    {
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }

    return matrix;
}

long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
    int result[2] = {0, 1};
    if(n < 2)
        return result[n];

    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    return PowerNMinus2.m_00;
}

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#Coding一小時，Copying一秒鐘。留個言點個讚唄，謝謝你#