#数据结构与算法学习笔记#剑指Offer7：斐波那契数列的四种编程实现方法 + 测试用例（Java、C/C++）

2018.8.2

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

公式法表示为：

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。想要详细了解可以点维基百科传送门。

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编程实现一个斐波那契（Fibonacci）数列有四种方法：

方法一：递归实现方法（易于理解，易于实现，但效率低，重复计算次数多，计算量随n增大而急剧增大）

方法二：循环正推（对累加过程进行模拟，复杂度o(n)，高效实用）

方法三：改进版循环正推（动态规划，简洁高效）

方法四：矩阵公式（需要用到矩阵公式，复杂度o(logn)，程序实现复杂，很少人知道，但是很出彩）

补充说明方法四：                                    

有了这个公式，我们只要求得矩阵B = A{{1, 1}, {1, 0}} ^ (n - 1)，再取B[0][0]就可以，或者求出矩阵C = A{{1, 1}, {1, 0}} ^ (n - 2)，再直接用C[0][0] + C[0][1]即可。

矩阵乘方运算如果能直接用一些矩阵类（比如OpenCV里的Mat），那编程实现就是分分钟的事情了。如果要自己实现的话也不会特别难，问题是从0开始循环，N次方的矩阵运算要进行N次运算，时间复杂度还是o(n)，还是效率不高。因此我们需要考虑乘方的如下性质：

要求得N次方，只需要求N/2次方，结果再平方一下即可，我们可以用递归的思路来实现。

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题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。n<=39

测试用例：

// ====================测试代码====================
void Test(int n, int expected)
{
    if(Fibonacci_Solution1(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution1 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution1 failed.\n", n);

    if(Fibonacci_Solution2(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution2 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution2 failed.\n", n);

    if(Fibonacci_Solution3(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution3 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution3 failed.\n", n);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    Test(0, 0);
    Test(1, 1);
    Test(2, 1);
    Test(3, 2);
    Test(4, 3);
    Test(5, 5);
    Test(6, 8);
    Test(7, 13);
    Test(8, 21);
    Test(9, 34);
    Test(10, 55);

    Test(40, 102334155);

    return 0;
}

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Java实现（方法二）：

/**
 * 
 * @author ChopinXBP 要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。
 * 
 *
 */

public class Fibonacci_7 {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int n = Fibonacci(5);
		System.out.println(n);
	}

	public static int Fibonacci(int n) {
		if (n == 0)
			return 0;
		else if (n == 1 || n == 2)
			return 1;

		int num1 = 1;
		int num2 = 2;
		int sum = 2;

		for (int i = 0; i < n - 3; i++) {
			sum = num1 + num2;

			if (i % 2 == 0) {
				num1 += num2;
			} else if (i % 2 == 1) {
				num2 += num1;
			}
		}

		return sum;
	}

}

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C++实现示例（方法一）：

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;

    if(n == 1)
        return 1;

    return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

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C++实现示例（方法二）：

long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
{
    int result[2] = {0, 1};
    if(n < 2)
        return result[n];

    long long  fibNMinusOne = 1;
    long long  fibNMinusTwo = 0;
    long long  fibN = 0;
    for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)
    {
        fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;

        fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
        fibNMinusOne = fibN;
    }

     return fibN;
}

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C++实现示例（方法三）：

class Solution {
public: 
	int Fibonacci(int n) { 
		int f = 0, g = 1; 
		while(n--){ 
			g += f;
			f = g - f; 
		} 
	return f;
	}
};

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C++实现示例（方法四）：

#include <cassert>

struct Matrix2By2
{
    Matrix2By2
    (
        long long m00 = 0, 
        long long m01 = 0, 
        long long m10 = 0, 
        long long m11 = 0
    )
    :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 
    {
    }

    long long m_00;
    long long m_01;
    long long m_10;
    long long m_11;
};

Matrix2By2 MatrixMultiply
(
    const Matrix2By2& matrix1, 
    const Matrix2By2& matrix2
)
{
    return Matrix2By2(
        matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
    assert(n > 0);

    Matrix2By2 matrix;
    if(n == 1)
    {
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    }
    else if(n % 2 == 0)
    {
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else if(n % 2 == 1)
    {
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }

    return matrix;
}

long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
    int result[2] = {0, 1};
    if(n < 2)
        return result[n];

    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    return PowerNMinus2.m_00;
}

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