1. 前言
隱馬爾科夫HMM模型是一類重要的機器學習方法，其主要用於序列數據的分析，廣泛應用於語音識別、文本翻譯、序列預測、中文分詞等多個領域。雖然近年來，由於RNN等深度學習方法的發展，HMM模型逐漸變得不怎麼流行了，但並不意味着完全退出應用領域，甚至在一些輕量級的任務中仍有應用。本系列博客將詳細剖析隱馬爾科夫鏈HMM模型，同以往網絡上絕大多數教程不同，本系列博客將更深入地分析HMM，不僅包括估計序列隱狀態的維特比算法（HMM解碼問題）、前向後向算法等，而且還着重的分析HMM的EM訓練過程，並將所有的過程都通過數學公式進行推導。
由於隱馬爾科夫HMM模型是一類非常複雜的模型，其中包含了大量概率統計的數學知識，因此網絡上多數博客一般都採用舉例等比較通俗的方式來介紹HMM，這麼做會讓初學者很快明白HMM的原理，但要丟失了大量細節，讓初學者處於一種似懂非懂的狀態。而本文並沒有考慮用非常通俗的文字描述HMM，還是考慮通過詳細的數學公式來一步步引導初學者掌握HMM的思想。另外，本文重點分析了HMM的EM訓練過程，這是網絡上其他教程所沒有的，而個人認爲相比於維特比算法、前向後向算法，HMM的EM訓練過程雖然更爲複雜，但是一旦掌握這個訓練過程，那麼對於通用的鏈狀圖結構的推導、EM算法和網絡訓練的理解都會非常大的幫助。另外通過總結HMM的數學原理，也能非常方便將數學公式改寫成代碼。
最後，本文提供了一個簡單版本的隱馬爾科夫鏈HMM的Python代碼，包含了高斯模型的HMM和離散HMM兩種情況，代碼中包含了HMM的訓練、預測、解碼等全部過程，核心代碼總共只有200~300行代碼，非常簡單！個人代碼水平比較渣=_=||，大家按照我的教程，應該都可以寫出更魯棒性更有高效的代碼，附上Github地址：https://github.com/tostq/Easy_HMM
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重要的事要說三遍！！！！
爲了方便大家學習，我將整個HMM代碼完善成整個學習項目，其中包括
hmm.py：HMM核心代碼，包含了一個HMM基類，一個高斯HMM模型及一個離散HMM模型
DiscreteHMM_test.py及GaussianHMM_test.py：利用unnitest來測試我們的HMM，同時引入了一個經典HMM庫hmmlearn作爲對照組
Dice_01.py：利用離散HMM模型來解決丟色子問題的例子
Wordseg_02.py：解決中文分詞問題的例子
Stock_03.py：解決股票預測問題的例子
2. 隱馬爾科夫鏈HMM的背景
首先，已知一組序列 ：
我們從這組序列中推導出產生這組序列的函數，假設函數參數爲 ，其表示爲
即使得序列X發生概率最大的函數參數，要解決上式，最簡單的考慮是將序列 的每個數據都視爲獨立的，比如建立一個神經網絡。然後這種考慮會隨着序列增長，而導致參數爆炸式增長。因此可以假設當前序列數據只與其前一數據值相關，即所謂的一階馬爾科夫鏈：
有一階馬爾科夫鏈，也會有二階馬爾科夫鏈（即當前數據值取決於其前兩個數據值）
當前本文不對二階馬爾科夫鏈進行深入分析了，着重考慮一階馬爾科夫鏈，現在根據一階馬爾科夫鏈的假設，我們有：
因此要解一階馬爾科夫鏈，其關鍵在於求數據（以下稱觀測值）之間轉換函數 ，如果假設轉換函數
然而，如果觀測值x的狀態非常多（特別極端的情況是連續數據），轉換函數
爲了降低馬爾科夫鏈的轉換函數的參數量，我們引入了一個包含較少狀態的隱狀態值，將觀測值的馬爾科夫鏈轉換爲隱狀態的馬爾科夫鏈（即爲隱馬爾科夫鏈HMM）
其包含了一個重要假設：當前觀測值只由當前隱狀態所決定。這麼做的一個重要好處是，隱狀態值的狀態遠小於觀測值的狀態，因此隱藏狀態的轉換函數
此時我們要決定的問題是：
即在所有可能隱藏狀態序列情況下，求使得序列 發生概率最大的函數參數 。
這裏我們再總結下：
隱馬爾科夫鏈HMM三個重要假設：
1. 當前觀測值只由當前隱藏狀態確定，而與其他隱藏狀態或觀測值無關（隱藏狀態假設）
2. 當前隱藏狀態由其前一個隱藏狀態決定（一階馬爾科夫假設）
3. 隱藏狀態之間的轉換函數概率不隨時間變化（轉換函數穩定性假設）
隱馬爾科夫鏈HMM所要解決的問題：
在所有可能隱藏狀態序列情況下，求使得當前序列X產生概率最大的函數參數θ。