【[Offer收割]編程練習賽23 C】【矩陣快速冪】H國的身份證號碼II

題目3 : H國的身份證號碼II

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描述

H國的身份證號碼是一個N位的正整數(首位不能是0)。此外，由於防僞需要，一個N位正整數是合法的身份證號碼當且僅當每位數字都小於等於K，並且任意相鄰兩位數字的乘積也小於等於K。

例如對於K=5, 101、211、210等都是合法的號碼，而106、123、421等都是非法的號碼。

給定一個正整數N以及K，H國總統想知道一共有多少個合法的號碼可用。

輸入

兩個整數N和K。

對於30%的數據，1 ≤ N ≤ 10  

對於50%的數據，1 ≤ N ≤ 1000000

對於100%的數據，1 ≤ N ≤ 1012，1 ≤ K ≤ 81。

輸出

合法號碼的總數。由於答案可能非常大，你只需要輸出答案對109+7取模的結果。

樣例輸入

2 4

樣例輸出

12

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<ctype.h>
#include<math.h>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<time.h>
using namespace std;
void fre() { freopen("c://test//input.in", "r", stdin); freopen("c://test//output.out", "w", stdout); }
#define MS(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
typedef long long LL;
typedef unsigned long long UL;
typedef unsigned int UI;
template <class T1, class T2>inline void gmax(T1 &a, T2 b) { if (b > a)a = b; }
template <class T1, class T2>inline void gmin(T1 &a, T2 b) { if (b < a)a = b; }
const int N = 0, M = 0, Z = 1e9 + 7, inf = 0x3f3f3f3f;
template <class T1, class T2>inline void gadd(T1 &a, T2 b) { a = (a + b) % Z; }
int casenum, casei;
LL n; int K;
vector<int>vt;
void dfs(int p, int pre, int now)
{
	if (p > n)
	{
		vt.push_back(now);
		return;
	}
	for (int i = 0; i <= K; ++i)
	{
		if (i * pre > K)break;
		dfs(p + 1, i, now * 10 + i);
	}
}
int BF()
{
	vt.clear();
	for (int i = 1; i <= K; ++i)
	{
		dfs(2, i, i);
	}
	return vt.size();
}

const int G = 10;		//矩陣大小
struct MX
{
	int v[G][G];
	void O() { MS(v, 0); }
	void E() { MS(v, 0); for (int i = 0; i < G; ++i)v[i][i] = 1; }
	void P()
	{
		for (int i = 0; i < G; ++i)
		{
			for (int j = 0; j < G; ++j)printf("%d ", v[i][j]); puts("");
		}
	}
	MX operator * (const MX &b) const
	{
		MX c; c.O();
		for (int k = 0; k < G; ++k)
		{
			for (int i = 0; i < G; ++i) if (v[i][k])
			{
				for (int j = 0; j < G; ++j)
				{
					c.v[i][j] = (c.v[i][j] + (LL)v[i][k] * b.v[k][j]) % Z;
				}
			}
		}
		return c;
	}
	MX operator + (const MX &b) const
	{
		MX c; c.O();
		for (int i = 0; i < G; ++i)
		{
			for (int j = 0; j < G; ++j)
			{
				c.v[i][j] = (v[i][j] + b.v[i][j]) % Z;
			}
		}
		return c;
	}
	MX operator ^ (LL p) const
	{
		MX y; y.E();
		MX x; memcpy(x.v, v, sizeof(v));
		while (p)
		{
			if (p & 1)y = y * x;
			x = x * x;
			p >>= 1;
		}
		return y;
	}
}a, b, c;

int main()
{
	while (~scanf("%lld%d", &n, &K))
	{
		int top = min(9, K);

		b.O();
		for (int i = 0; i <= top; ++i)
		{
			for (int j = 0; j <= top; ++j)if (i * j <= K)
			{
				b.v[i][j] = 1;
			}
		}

		a.O();
		for (int i = 1; i <= top; ++i)
		{
			a.v[0][i] = 1;
		}

		c = a * (b ^ (n - 1));

		int ans = 0;
		for (int i = 0; i <= top; ++i)
		{
			gadd(ans, c.v[0][i]);
		}
		printf("%d\n", ans);
		//printf("%d\n", BF());
	}
	return 0;
}
/*
【trick&&吐槽】
變量寫歪了wa了一發2333

【題意】
讓你判定，對於首位不能爲0的恰好n（n <= 10^12）位數，
如果其每一位的數要<=K （K <= 81）且相鄰位的數之乘積<=K，
要你依次輸出所有這樣的數。

【分析】
這道題我們看到n實在是有夠大，於是想到是矩陣快速冪。
初始化和轉移都很簡單。

【時間複雜度&&優化】
O(log(n) * 10^3)

*/