UVA 11426 - GCD Extreme(II)

題意：求sum(gcd(i,j),1<=i<j<=n) 1 < n <= 40000000

1.建立遞推關係，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);

2.設f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。

gcd(x,n)=i是n的約數（x<n），按照這個約數進行分類。設滿足gcd（x,n）=i的約束有g(n,i)個，則有f(n)=sum(i*g(n,i))。

而gcd(x,n)=i等價於gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等價於phi(n/i).phi(x)爲歐拉函數。

3.降低時間複雜度。用篩法預處理phi[x]表

用篩法預處理f(x)->枚舉因數，更新其所有倍數求解。

#include <cstdio>
#include <cstring>

const long long maxn = 4100000;
long long phi[maxn * 2];
long long s[maxn], f[maxn];
void phi_table(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        phi[i]=0;
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    if(!phi[i])
    {
        for(int j=i;j<=n;j+=i)
        {
            if(!phi[j])
                phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
}

int main()
{
    phi_table(maxn);
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for(int i = 1; i <= maxn; i++)
        for(int j = i+i; j <= maxn; j += i)
            f[j] += (i*phi[j/i]);

    memset(s, 0, sizeof(s));
    s[1] = 0;
    for(int i = 2;i <= maxn; i++)
        s[i] = s[i-1] + f[i];

    int n;
    while(scanf("%d",&n) && n != 0)
        printf("%lld\n", s[n]);
    return 0;
}