0、寫在前面的話
我個人一直很喜歡算法一類的東西，在我看來算法是人類智慧的精華，其中蘊含着無與倫比的美感。而每次將學過的算法應用到實際中，並解決了實際問題後，那種快感更是我在其它地方體會不到的。
一直想寫關於算法的博文，也曾寫過零散的兩篇，但也許是相比於工程性文章來說太小衆，並沒有引起大家的興趣。最近面臨畢業找工作，爲了能給自己增加籌碼， 決定再次複習算法方面的知識，我決定趁這個機會，寫一系列關於算法的文章。這樣做，主要是爲了加強自己複習的效果，我想，如果能將複習的東西用自己的理解 寫成文章，勢必比單純的讀書做題掌握的更牢固，也更能觸發自己的思考。如果能有感興趣的朋友從中有所收穫，那自然更好。
這個系列我將其命名爲“算法雜貨鋪”，其原因就是這些文章一大特徵就是“雜”，我不會專門討論堆棧、鏈表、二叉樹、查找、排序等任何一本數據結構教科書都 會講的基礎內容，我會從一個“專題”出發，如概率算法、分類算法、NP問題、遺傳算法等，然後做一個引申，可能會涉及到算法與數據結構、離散數學、概率 論、統計學、運籌學、數據挖掘、形式語言與自動機等諸多方面，因此其內容結構就像一個雜貨鋪。當然，我會竭盡所能，儘量使內容“雜而不亂”。
1.1、摘要
貝葉斯分類是一類分類算法的總稱，這類算法均以貝葉斯定理爲基礎，故統稱爲貝葉斯分類。本文作爲分類算法的第一篇，將首先介紹分類問題，對分類問題進行一 個正式的定義。然後，介紹貝葉斯分類算法的基礎——貝葉斯定理。最後，通過實例討論貝葉斯分類中最簡單的一種：樸素貝葉斯分類。
1.2、分類問題綜述
對於分類問題，其實誰都不會陌生，說我們每個人每天都在執行分類操作一點都不誇張，只是我們沒有意識到罷了。例如，當你看到一個陌生人，你的腦子下意識判 斷TA是男是女；你可能經常會走在路上對身旁的朋友說“這個人一看就很有錢、那邊有個非主流”之類的話，其實這就是一種分類操作。
從數學角度來說，分類問題可做如下定義：
已知集合：
其中C叫做類別集合，其中每一個元素是一個類別，而I叫做項集合，其中每一個元素是一個待分類項，f叫做分類器。分類算法的任務就是構造分類器f。
這裏要着重強調，分類問題往往採用經驗性方法構造映射規則，即一般情況下的分類問題缺少足夠的信息來構造100%正確的映射規則，而是通過對經驗數據的學 習從而實現一定概率意義上正確的分類，因此所訓練出的分類器並不是一定能將每個待分類項準確映射到其分類，分類器的質量與分類器構造方法、待分類數據的特 性以及訓練樣本數量等諸多因素有關。
例如，醫生對病人進行診斷就是一個典型的分類過程，任何一個醫生都無法直接看到病人的病情，只能觀察病人表現出的症狀和各種化驗檢測數據來推斷病情，這時 醫生就好比一個分類器，而這個醫生診斷的準確率，與他當初受到的教育方式（構造方法）、病人的症狀是否突出（待分類數據的特性）以及醫生的經驗多少（訓練 樣本數量）都有密切關係。
1.3、貝葉斯分類的基礎——貝葉斯定理
每次提到貝葉斯定理，我心中的崇敬之情都油然而生，倒不是因爲這個定理多高深，而是因爲它特別有用。這個定理解決了現實生活裏經常遇到的問題：已知某條件 概率，如何得到兩個事件交換後的概率，也就是在已知P(A|B)的情況下如何求得P(B|A)。這裏先解釋什麼是條件概率：
貝葉斯定理之所以有用，是因爲我們在生活中經常遇到這種情況：我們可以很容易直接得出P(A|B)，P(B|A)則很難直接得出，但我們更關心P(B|A)，貝葉斯定理就爲我們打通從P(A|B)獲得P(B|A)的道路。
下面不加證明地直接給出貝葉斯定理：
1.4、樸素貝葉斯分類
1.4.1、樸素貝葉斯分類的原理與流程
樸素貝葉斯分類是一種十分簡單的分類算法，叫它樸素貝葉斯分類是因爲這種方法的思想真的很樸素，樸素貝葉斯 的思想基礎是這樣的：對於給出的待分類項，求解在此項出現的條件下各個類別出現的概率，哪個最大，就認爲此待分類項屬於哪個類別。通俗來說，就好比這麼個 道理，你在街上看到一個黑人，我問你你猜這哥們哪裏來的，你十有八九猜非洲。爲什麼呢？因爲黑人中非洲人的比率最高，當然人家也可能是美洲人或亞洲人，但 在沒有其它可用信息下，我們會選擇條件概率最大的類別，這就是樸素貝葉斯的思想基礎。
樸素貝葉斯分類的正式定義如下：
1、設
2、有類別集合
3、計算
4、如果
那麼現在的關鍵就是如何計算第3步中的各個條件概率。我們可以這麼做：
1、找到一個已知分類的待分類項集合，這個集合叫做訓練樣本集。
2、統計得到在各類別下各個特徵屬性的條件概率估計。即。
3、如果各個特徵屬性是條件獨立的，則根據貝葉斯定理有如下推導：
因爲分母對於所有類別爲常數，因爲我們只要將分子最大化皆可。又因爲各特徵屬性是條件獨立的，所以有：
根據上述分析，樸素貝葉斯分類的流程可以由下圖表示（暫時不考慮驗證）：
可以看到，整個樸素貝葉斯分類分爲三個階段：
第一階段——準備工作階段，這個階段的任務是爲樸素貝葉斯分類做必要的準備，主要工作是根據具體情況確定特徵屬性，並對每個特徵屬性進行適當劃分，然後由 人工對一部分待分類項進行分類，形成訓練樣本集合。這一階段的輸入是所有待分類數據，輸出是特徵屬性和訓練樣本。這一階段是整個樸素貝葉斯分類中唯一需要 人工完成的階段，其質量對整個過程將有重要影響，分類器的質量很大程度上由特徵屬性、特徵屬性劃分及訓練樣本質量決定。
第二階段——分類器訓練階段，這個階段的任務就是生成分類器，主要工作是計算每個類別在訓練樣本中的出現頻率及每個特徵屬性劃分對每個類別的條件概率估 計，並將結果記錄。其輸入是特徵屬性和訓練樣本，輸出是分類器。這一階段是機械性階段，根據前面討論的公式可以由程序自動計算完成。
第三階段——應用階段。這個階段的任務是使用分類器對待分類項進行分類，其輸入是分類器和待分類項，輸出是待分類項與類別的映射關係。這一階段也是機械性階段，由程序完成。
1.4.2、估計類別下特徵屬性劃分的條件概率及Laplace校準
這一節討論P(a|y)的估計。
由上文看出，計算各個劃分的條件概率P(a|y)是樸素貝葉斯分類的關鍵性步驟，當特徵屬性爲離散值時，只要很方便的統計訓練樣本中各個劃分在每個類別中出現的頻率即可用來估計P(a|y)，下面重點討論特徵屬性是連續值的情況。
當特徵屬性爲連續值時，通常假定其值服從高斯分佈（也稱正態分佈）。即：
而
因此只要計算出訓練樣本中各個類別中此特徵項劃分的各均值和標準差，代入上述公式即可得到需要的估計值。均值與標準差的計算在此不再贅述。
另一個需要討論的問題就是當P(a|y)=0怎麼辦，當某個類別下某個特徵項劃分沒有出現時，就是產生這種現象，這會令分類器質量大大降低。爲了解決這個 問題，我們引入Laplace校準，它的思想非常簡單，就是對沒類別下所有劃分的計數加1，這樣如果訓練樣本集數量充分大時，並不會對結果產生影響，並且 解決了上述頻率爲0的尷尬局面。
1.4.3、樸素貝葉斯分類實例：檢測SNS社區中不真實賬號
下面討論一個使用樸素貝葉斯分類解決實際問題的例子，爲了簡單起見，對例子中的數據做了適當的簡化。
這個問題是這樣的，對於SNS社區來說，不真實賬號（使用虛假身份或用戶的小號）是一個普遍存在的問題，作爲SNS社區的運營商，希望可以檢測出這些不真實賬號，從而在一些運營分析報告中避免這些賬號的干擾，亦可以加強對SNS社區的瞭解與監管。
如果通過純人工檢測，需要耗費大量的人力，效率也十分低下，如能引入自動檢測機制，必將大大提升工作效率。這個問題說白了，就是要將社區中所有賬號在真實賬號和不真實賬號兩個類別上進行分類，下面我們一步一步實現這個過程。
首先設C=0表示真實賬號，C=1表示不真實賬號。
1、確定特徵屬性及劃分
這一步要找出可以幫助我們區分真實賬號與不真實賬號的特徵屬性，在實際應用中，特徵屬性的數量是很多的，劃分也會比較細緻，但這裏爲了簡單起見，我們用少量的特徵屬性以及較粗的劃分，並對數據做了修改。
我們選擇三個特徵屬性：a1：日誌數量/註冊天數，a2：好友數量/註冊天數，a3：是否使用真實頭像。在SNS社區中這三項都是可以直接從數據庫裏得到或計算出來的。
下面給出劃分：a1：{a<=0.05, 0.05<a<0.2, a>=0.2}，a1：{a<=0.1, 0.1<a<0.8, a>=0.8}，a3：{a=0（不是）,a=1（是）}。
2、獲取訓練樣本
這裏使用運維人員曾經人工檢測過的1萬個賬號作爲訓練樣本。
3、計算訓練樣本中每個類別的頻率
用訓練樣本中真實賬號和不真實賬號數量分別除以一萬，得到：
4、計算每個類別條件下各個特徵屬性劃分的頻率
5、使用分類器進行鑑別
下面我們使用上面訓練得到的分類器鑑別一個賬號，這個賬號使用非真實頭像，日誌數量與註冊天數的比率爲0.1，好友數與註冊天數的比率爲0.2。
可以看到，雖然這個用戶沒有使用真實頭像，但是通過分類器的鑑別，更傾向於將此賬號歸入真實賬號類別。這個例子也展示了當特徵屬性充分多時，樸素貝葉斯分類對個別屬性的抗干擾性。
1.5、分類器的評價
雖然後續還會提到其它分類算法，不過這裏我想先提一下如何評價分類器的質量。
首先要定義，分類器的正確率指分類器正確分類的項目佔所有被分類項目的比率。
通常使用迴歸測試來評估分類器的準確率，最簡單的方法是用構造完成的分類器對訓練數據進行分類，然後根據結果給出正確率評估。但這不是一個好方法，因爲使 用訓練數據作爲檢測數據有可能因爲過分擬合而導致結果過於樂觀，所以一種更好的方法是在構造初期將訓練數據一分爲二，用一部分構造分類器，然後用另一部分 檢測分類器的準確率。
2.1、摘要
在上一篇文章中我們討論了樸素貝葉斯分類。樸素貝葉斯分類有一個限制條件，就是特徵屬性必須有條件獨立或基本獨立（實際上在現實應用中幾乎不可能做到完全 獨立）。當這個條件成立時，樸素貝葉斯分類法的準確率是最高的，但不幸的是，現實中各個特徵屬性間往往並不條件獨立，而是具有較強的相關性，這樣就限制了 樸素貝葉斯分類的能力。這一篇文章中，我們接着上一篇文章的例子，討論貝葉斯分類中更高級、應用範圍更廣的一種算法——貝葉斯網絡（又稱貝葉斯信念網絡或 信念網絡）。
2.2、重新考慮上一篇的例子
上一篇文章我們使用樸素貝葉斯分類實現了SNS社區中不真實賬號的檢測。在那個解決方案中，我做了如下假設：
i、真實賬號比非真實賬號平均具有更大的日誌密度、各大的好友密度以及更多的使用真實頭像。
ii、日誌密度、好友密度和是否使用真實頭像在賬號真實性給定的條件下是獨立的。
但是，上述第二條假設很可能並不成立。一般來說，好友密度除了與賬號是否真實有關，還與是否有真實頭像有關，因爲真實的頭像會吸引更多人加其爲好友。因此，我們爲了獲取更準確的分類，可以將假設修改如下：
i、真實賬號比非真實賬號平均具有更大的日誌密度、各大的好友密度以及更多的使用真實頭像。
ii、日誌密度與好友密度、日誌密度與是否使用真實頭像在賬號真實性給定的條件下是獨立的。
iii、使用真實頭像的用戶比使用非真實頭像的用戶平均有更大的好友密度。
上述假設更接近實際情況，但問題隨之也來了，由於特徵屬性間存在依賴關係，使得樸素貝葉斯分類不適用了。既然這樣，我去尋找另外的解決方案。
下圖表示特徵屬性之間的關聯：
上圖是一個有向無環圖，其中每個節點代表一個隨機變量，而弧則表示兩個隨機變量之間的聯繫，表示指向結點影響被指向結點。不過僅有這個圖的話，只能定性給 出隨機變量間的關係，如果要定量，還需要一些數據，這些數據就是每個節點對其直接前驅節點的條件概率，而沒有前驅節點的節點則使用先驗概率表示。
例如，通過對訓練數據集的統計，得到下表（R表示賬號真實性，H表示頭像真實性）：
縱向表頭表示條件變量，橫向表頭表示隨機變量。上表爲真實賬號和非真實賬號的概率，而下表爲頭像真實性對於賬號真實性的概率。這兩張表分別爲“賬號是否真 實”和“頭像是否真實”的條件概率表。有了這些數據，不但能順向推斷，還能通過貝葉斯定理進行逆向推斷。例如，現隨機抽取一個賬戶，已知其頭像爲假，求其 賬號也爲假的概率：
也就是說，在僅知道頭像爲假的情況下，有大約35.7%的概率此賬戶也爲假。如果覺得閱讀上述推導有困難，請複習概率論中的條件概率、貝葉斯定理及全概率 公式。如果給出所有節點的條件概率表，則可以在觀察值不完備的情況下對任意隨機變量進行統計推斷。上述方法就是使用了貝葉斯網絡。
2.3、貝葉斯網絡的定義及性質
有了上述鋪墊，我們就可以正式定義貝葉斯網絡了。
一個貝葉斯網絡定義包括一個有向無環圖（DAG）和一 個條件概率表集合。DAG中每一個節點表示一個隨機變量，可以是可直接觀測變量或隱藏變量，而有向邊表示隨機變量間的條件依賴；條件概率表中的每一個元素 對應DAG中唯一的節點，存儲此節點對於其所有直接前驅節點的聯合條件概率。
貝葉斯網絡有一條極爲重要的性質，就是我們斷言每一個節點在其直接前驅節點的值制定後，這個節點條件獨立於其所有非直接前驅前輩節點。
這個性質很類似Markov過程。其實，貝葉斯網絡可以看做是Markov鏈的非線性擴展。這條特性的重要意義在於明確了貝葉斯網絡可以方便計算聯合概率分佈。一般情況先，多變量非獨立聯合條件概率分佈有如下求取公式：
而在貝葉斯網絡中，由於存在前述性質，任意隨機變量組合的聯合條件概率分佈被化簡成
其中Parents表示xi的直接前驅節點的聯合，概率值可以從相應條件概率表中查到。
貝葉斯網絡比樸素貝葉斯更復雜，而想構造和訓練出一個好的貝葉斯網絡更是異常艱難。但是貝葉斯網絡是模擬人的認知思維推理模式，用一組條件概率函數以及有向無環圖對不確定性的因果推理關係建模，因此其具有更高的實用價值。
2.4、貝葉斯網絡的構造及學習
構造與訓練貝葉斯網絡分爲以下兩步：
1、確定隨機變量間的拓撲關係，形成DAG。這一步通常需要領域專家完成，而想要建立一個好的拓撲結構，通常需要不斷迭代和改進纔可以。
2、訓練貝葉斯網絡。這一步也就是要完成條件概率表的構造，如果每個隨機變量的值都是可以直接觀察的，像我們上面的例子，那麼這一步的訓練是直觀的，方法 類似於樸素貝葉斯分類。但是通常貝葉斯網絡的中存在隱藏變量節點，那麼訓練方法就是比較複雜，例如使用梯度下降法。由於這些內容過於晦澀以及牽扯到較深入 的數學知識，在此不再贅述，有興趣的朋友可以查閱相關文獻。
2.5、貝葉斯網絡的應用及示例
貝葉斯網絡作爲一種不確定性的因果推理模型，其應用範圍非常廣，在醫療診斷、信息檢索、電子技術與工業工程等諸多方面發揮重要作用，而與其相關的一些問題也是近來的熱點研究課題。例如，Google就在諸多服務中使用了貝葉斯網絡。
就使用方法來說，貝葉斯網絡主要用於概率推理及決策，具體來說，就是在信息不完備的情況下通過可以觀察隨機變量推斷不可觀察的隨機變量，並且不可觀察隨機變量可以多於以一個，一般初期將不可觀察變量置爲隨機值，然後進行概率推理。下面舉一個例子。
還是SNS社區中不真實賬號檢測的例子，我們的模型中存在四個隨機變量：賬號真實性R，頭像真實性H，日誌密度L，好友密度F。其中H，L，F是可以觀察 到的值，而我們最關係的R是無法直接觀察的。這個問題就劃歸爲通過H，L，F的觀察值對R進行概率推理。推理過程可以如下表示：
1、使用觀察值實例化H,L和F，把隨機值賦給R。
2、計算
由於上述例子只有一個未知隨機變量，所以不用迭代。更一般得，使用貝葉斯網絡進行推理的步驟可如下描述：
1、對所有可觀察隨機變量節點用觀察值實例化；對不可觀察節點實例化爲隨機值。
2、對DAG進行遍歷，對每一個不可觀察節點y，計算
3、使用第三步計算出的各個y作爲未知節點的新值進行實例化，重複第二步，直到結果充分收斂。
4、將收斂結果作爲推斷值。
以上只是貝葉斯網絡推理的算法之一，另外還有其它算法，這裏不再詳述。