NKOJ 3967 （SCOI 2007）最大土地面積（旋轉卡殼）

P3967【SCOI2007】最大土地面積

問題描述

在某塊平面土地上有N個點，你可以選擇其中的任意四個點，將這片土地圍起來，當然，你希望這四個點圍成的多邊形面積最大。

輸入格式

在某塊平面土地上有N個點，你可以選擇其中的任意四個點，將這片土地圍起來，當然，你希望這四個點圍成的多邊形面積最大。

輸出格式

最大的多邊形面積，答案精確到小數點後3位。

樣例輸入

5
0 0
1 0
1 1
0 1
0.5 0.5

樣例輸出

1.000

提示

n<=2000, |x|,|y|<=100000

---

首先，面積最大的點一定在凸包上，因此先求出凸包，然後在凸包上搞。
求四邊形面積不方便，容易想到拆成兩個三角形，因此可以枚舉對角線，然後分別求出對角線兩側的最大三角形面積。這裏可以在凸包上二分。
但是注意到當對角線一端固定，另一端向一個方向移動時，最大三角形面積的位置也是單調的。因爲相當於是用平行於當前對角線的直線去與凸包求切點，所以可以旋轉卡殼，跟着轉就行了。最好直接用面積判斷是否需要移動。
總複雜度O(n2)$O(n^2)$

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代碼：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 3005
using namespace std;
double eps=1e-9;
struct node
{
    double x,y;
    bool operator<(const node &b)const
    {
        if(x==b.x)return y>b.y;
        return x<b.x;
    }
    double operator*(const node &b)const
    {return x*b.y-y*b.x;}
    node operator-(const node &b)const
    {return (node){x-b.x,y-b.y};}
}P[N],S[N];
int n,top;
double Lmax[N],Rmax[N],ans;
int main()
{
    int i,j,k;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
    sort(P+1,P+n+1);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        while(top>1&&(S[top-1]-S[top])*(S[top-1]-P[i])<eps)top--;
        S[++top]=P[i];
    }
    k=--top;
    for(i=n;i>=1;i--)
    {
        while(top>k+1&&(S[top-1]-S[top])*(S[top-1]-P[i])<eps)top--;
        S[++top]=P[i];
    }
    for(i=1;i<top;i++)
    {
        k=i+1;
        for(j=i+2;j<top-1;j++)
        {
            while(fabs((S[k]-S[j])*(S[k]-S[i]))<fabs((S[k+1]-S[j])*(S[k+1]-S[i])))k++;
            Lmax[j]=fabs((S[k]-S[j])*(S[k]-S[i]));
        }
        k=top-1;
        for(j=top-2;j>i+1;j--)
        {
            while(fabs((S[k]-S[i])*(S[k]-S[j]))<fabs((S[k-1]-S[i])*(S[k-1]-S[j])))k--;
            Rmax[j]=fabs((S[k]-S[i])*(S[k]-S[j]));
        }
        for(j=i+2;j<top-1;j++)ans=max(ans,Lmax[j]+Rmax[j]);
    }
    printf("%.3lf",0.5*ans);
}