幾個離散混沌映射系統(混沌函數)

0.背景知識

(1) 混沌系統是指在一個確定性系統中，存在着貌似隨機的不規則運動，其行爲表現爲不確定性、不可重複、不可預測，這就是混沌現象。

(2) Lyapunov指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標,它表徵了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率,當其指數大於0時，此時系統具有混沌性質。

1.logistic映射

1.1    簡介

此映射是目前應用最廣泛的一類非線性動力學離散混沌映射系統。

1.2    映射方程

Xn+1 = μXn(1-Xn)                     n = 1,2,3. . .

其中，參數μ∈(0,4]，Xn∈(0,1)，當3.5699...<μ≤4時，系統處於混沌狀態。

1.3    映射圖像

圖a爲logistic映射的分岔圖，圖b爲logistic系統的Lyapunov指數曲線圖，當μ=4時，logistic系統的Lyapunov指數達到最大值0.69(引自百度，圖片侵刪)。

1.4    改進型logistic映射

Xn+1 = 1-2*(Xn)^2                     n = 1,2,3. . .

其中，參數Xn∈(-1,1)，此函數更適合對數字信號進行調製。

2.tent映射

2.1    簡介

此映射是目前也是應用廣泛的一類非線性動力學離散混沌映射系統，其在混沌擴頻碼的產生、混沌加密系統構造和混沌優選算法的實現等領域中。

2.2    映射方程

              {       Xn/q                     0<Xn≤q

Xn+1 = {                             

              {      (1- Xn)/(1-q)          q<Xn<1

其中，參數q∈(0,1)，Xn∈(0,1)。

2.3    映射性質

它與logistic映射互爲拓撲共軛映射，在q的可取範圍內，系統都處於混沌狀態。尤其的，當q=0.5的時候，系統呈現短週期狀態。使用此映射時，需要注意，系統初值不能和系統參數q相同，否則將演化成週期系統。

(未完待續)