「NOIP2014」 無線網絡發射器選址 - 前綴和

題目描述

隨着智能手機的日益普及，人們對無線網的需求日益增大。某城市決定對城市內的公共場所覆蓋無線網。

假設該城市的佈局爲由嚴格平行的129條東西向街道和129條南北向街道所形成的網格狀，並且相鄰的平行街道之間的距離都是恆定值1。東西向街道從北到南依次編號爲0,1,2…128 , 南北向街道從西到東依次編號爲0,1,2…128。

東西向街道和南北向街道相交形成路口，規定編號爲x的南北向街道和編號爲y的東西向街道形成的路口的座標是（x,y）。 在某些路口存在一定數量的公共場所。

由於政府財政問題，只能安裝一個大型無線網絡發射器。該無線網絡發射器的傳播範圍
一個以該點爲中心，邊長爲2*d的正方形。傳播範圍包括正方形邊界。

例如下圖是一個d=1的無線網絡發射器的覆蓋範圍示意圖。

現在政府有關部門準備安裝一個傳播參數爲d的無線網絡發射器，希望你幫助他們在城市內找出合適的安裝地點，使得覆蓋的公共場所最多。

輸入格式

第一行包含一個整數d，表示無線網絡發射器的傳播距離。

第二行包含一個整數n，表示有公共場所的路口數目。

接下來n行，每行給出三個整數x,y,k,中間用一個空格隔開，分別代表路口的座標(x,y)以及該路口公共場所的數量。同一座標只會給出一次。

輸出格式

輸出一行，包含兩個整數，用一個空格隔開，分別表示能覆蓋最多公共場所的安裝地點 方案數，以及能覆蓋的最多公共場所的數量。

樣例輸入

1
2
4 4 10
6 6 20

樣例輸出

1 30

數據規模與範圍

對於100%的數據,1≤d≤20,1≤n≤20,0≤x,y≤128,0≤k≤1000000$1\le d\le 20,1\le n\le 20,0\le x,y\le 128,0\le k\le 1000000$

分析

由於本題數據範圍較小，可以用暴力過，但我還是講講二維前綴和的做法。

定義，sum[i][j]$sum[i][j]$ 爲前i$i$ 行前j$j$ 列在a[][]$a[][]$ 中的和。所以，sum[i][j]$sum[i][j]$ 就是下圖中棕色區域的和。

通過這張圖，也可以知道，棕色區域就等於藍色框起來的區域和+綠色框起來的區域和-它們重疊的黃色區域和+右下角沒有沒覆蓋到的棕色值。

即

sum[i][j]=sum[i−1][j]+sum[i][j−1]−sum[i−1][j−1]+a[i][j]$$sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]$$

這樣我們就可以把前綴和算出來了。可要怎麼快速查詢a[i][j]−a[k][m]$a[i][j]-a[k][m]$ 的和？也很簡單，如下圖：

我們可以看到，a[i][j]−a[k][m]$a[i][j]-a[k][m]$ 的和可以表示爲棕色區域的和，而棕色區域的和就等於sum[j][m]−sum[i][m]−sum[k][j]$sum[j][m]-sum[i][m]-sum[k][j]$ 再加上多減的sum[i][j]$sum[i][j]$ ，即爲

sum[k][m]−sum[i][m]−sum[j][m]+sum[i][j]$$sum[k][m]-sum[i][m]-sum[j][m]+sum[i][j]$$

這樣就可以在O(1)$O(1)$ 時間內求解。

對於這道題，也是差不多的。

代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int d,n;
long long sum[131][131],ans,cnt;
int g[130][130];
int main() {
    scanf("%d%d",&d,&n);
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g[a+1][b+1]=c;
    }
    for (int i = 1;i <= 129;i++)
        for (int j = 1;j <= 129;j++)
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+g[i][j];
    //製造前綴和
    for (int i = 1;i <= 129;i++) {
        for (int j = 1;j <= 129;j++) {
            long long t=sum[min(i+d,129)][min(j+d,129)]-
            sum[max(i-d,1)-1][min(j+d,129)]-
            sum[min(i+d,129)][max(j-d,1)-1]+
            sum[max(i-d,1)-1][max(j-d,1)-1];
            //注意是從i+d,j+d到i-d,j-d的和
            if (t>ans) {
                ans=t;
                cnt=1;
            }
            else if (t==ans) {
                cnt++;
            }
        }
    }
    printf("%lld %lld",cnt,ans);
    return 0;
}