Raney引理

Raney引理：

         設整數序列A={A_i,i=1,2,...,N}，且部分和爲S_k=A₁+,...,+A_k，序列中的所有的數字之和爲S_n=1；

         則在A的N個循環表示中，有且僅有一個序列B，滿足B的任意部分和S_i均大於零。

證明：

      由於S_n=1，則S_k+S_n=S_k+1，存在這樣一個數x，當在x和x+1之間的某點過後，其後所有的點都在0以上。

    

      用幾何圖形來說明就是，用兩條線夾住S_i的曲線，在每連續N個單位的長度中，直線與函數圖像有且僅有一個交點。因爲斜率爲1/N，所以，直線在N個連續長度中，最多隻能到達一次整數點。這個交點是在這以後的N個點中，最低的。同時N個單位長度僅有一個交點也證明了該解的唯一性。

關於Raney的另一條引理：任何一種循環表示都和自身不同。如果相同，根據循環串的性質，必定可以分成d>1個相同的部分，設部分和爲s，則s*d=1，不能保證s爲整數。

     有這樣一道題目：

序列

     一個序列{A_i,i=0,1,2,....,3n},由 3n+1項組成，每一項是1或-2。定義部分和S_k=A₀+A₁+...+A_k,求所有滿足S_3n=1,而且對k=0,1,...3n,S_k>0,的序列的個數。

      由題意，總共有Cⁿ_3n+1種不同的序列，而由於每個序列有3n+1種不同的循環序列，但只有一種的部分和都大於0.所以，總共有C_n³ⁿ⁺¹/(3n+1)種滿足題目要求的序列。

該問題需要使用到大數乘法和大數除法，程序編碼如下

#ifndef SEQ_H #define SEQ_H #include <iostream> #include <memory.h> class Seq { int n; int ans[3001]; int ansLen; public: Seq() { std::cin>>n; memset(ans,0,sizeof(int)*3001); ans[1]=1; ansLen=1; for(int i=1;i<=n;i++) { multiply(3*n+1-i+1); div(i); } div(3*n+1); for(int i=ansLen;i>0;i--) std::cout<<ans[i]; std::cout<<std::endl; } void multiply(int k) { for(int i=1;i<=ansLen;i++) { ans[i]=ans[i]*k; } for(int i=1;i<=ansLen;i++) { while(ans[i]/10>0) { ans[i+1]+=ans[i]/10; ans[i]=ans[i]%10; i++; } if(ansLen<i) ansLen=i; } } void div(int k) { int* b=new int[3001]; memset(b,0,sizeof(int)*3001); int x=0; for(int i=ansLen;i>0;i--) { b[i]=(x*10+ans[i])/k; x=(x*10+ans[i])%k; } b[0]=ansLen; while(b[ansLen]==0&&ansLen>0) ansLen--; memset(ans,0,sizeof(int)*3001); for(int i=1;i<=ansLen;i++) ans[i]=b[i]; delete[] b; } }; #endif