什麼是範數？
我們知道距離的定義是一個寬泛的概念，只要滿足非負、自反、三角不等式就可以稱之爲距離。範數是一種強化了的距離概念，它在定義上比距離多了一條數乘的運算法則。有時候爲了便於理解，我們可以把範數當作距離來理解。
在數學上，範數包括向量範數和矩陣範數，向量範數表徵向量空間中向量的大小，矩陣範數表徵矩陣引起變化的大小。一種非嚴密的解釋就是，對應向量範數，向量空間中的向量都是有大小的，這個大小如何度量，就是用範數來度量的，不同的範數都可以來度量這個大小，就好比米和尺都可以來度量遠近一樣；對於矩陣範數，學過線性代數，我們知道，通過運算AX=BAX=B，可以將向量X變化爲B，矩陣範數就是來度量這個變化大小的。
這裏簡單地介紹以下幾種向量範數的定義和含義
1、 L-P範數
與閔可夫斯基距離的定義一樣，L-P範數不是一個範數，而是一組範數，其定義如下：
根據P 的變化，範數也有着不同的變化，一個經典的有關P範數的變化圖如下：
上圖表示了p從無窮到0變化時，三維空間中到原點的距離（範數）爲1的點構成的圖形的變化情況。以常見的L-2範數（p=2）爲例，此時的範數也即歐氏距離，空間中到原點的歐氏距離爲1的點構成了一個球面。
實際上，在0≤p<1≤p<1時，Lp並不滿足三角不等式的性質，也就不是嚴格意義下的範數。以p=0.5，二維座標(1,4)、(4,1)、(1,9)爲例，
2、L0範數
當P=0時，也就是L0範數，由上面可知，L0範數並不是一個真正的範數，它主要被用來度量向量中非零元素的個數。用上面的L-P定義可以得到的L-0的定義爲：
這裏就有點問題了，我們知道非零元素的零次方爲1，但零的零次方，非零數開零次方都是什麼鬼，很不好說明L0的意義，所以在通常情況下，大家都用的是：
表示向量xx中非零元素的個數。
對於L0範數，其優化問題爲：
在實際應用中，由於L0範數本身不容易有一個好的數學表示形式，給出上面問題的形式化表示是一個很難的問題，故被人認爲是一個NP難問題。所以在實際情況中，L0的最優問題會被放寬到L1或L2下的最優化。
3、L1範數
L1範數是我們經常見到的一種範數，它的定義如下：
L1範數有很多的名字，例如我們熟悉的曼哈頓距離、最小絕對誤差等。使用L1範數可以度量兩個向量間的差異，如絕對誤差和（Sum of Absolute Difference）：
對於L1範數，它的優化問題如下：
min||x||1min||x||1
s.t.Ax=bs.t.Ax=b
由於L1範數的天然性質，對L1優化的解是一個稀疏解，因此L1範數也被叫做稀疏規則算子。通過L1可以實現特徵的稀疏，去掉一些沒有信息的特徵，例如在對用戶的電影愛好做分類的時候，用戶有100個特徵，可能只有十幾個特徵是對分類有用的，大部分特徵如身高體重等可能都是無用的，利用L1範數就可以過濾掉。
4、L2範數
L2範數是我們最常見最常用的範數了，我們用的最多的度量距離歐氏距離就是一種L2範數，它的定義如下：
表示向量元素的平方和再開平方。
像L1範數一樣，L2也可以度量兩個向量間的差異，如平方差和（Sum of Squared Difference）:
對於L2範數，它的優化問題如下：
L2範數通常會被用來做優化目標函數的正則化項，防止模型爲了迎合訓練集而過於複雜造成過擬合的情況，從而提高模型的泛化能力。
5、L-∞範數∞範數
當P=∞∞時，也就是L-∞∞範數，它主要被用來度量向量元素的最大值。用上面的L-P定義可以得到的L∞∞的定義爲：
與L0一樣，在通常情況下，大家都用的是：
來表示L∞