昨天看到一個面試題，讓介紹什麼是秩，其實這個可能對學好了線性代數的人來說是很basic的問題吧，可是無奈數學裏我最最討厭的就是線性代數了，當初大一的時候壓根沒學明白。
言歸正傳，單獨給秩開一篇博客，是因爲早上看到知乎的大神對秩的解釋簡直不要太好，貼上來，保存一下。
下面的回答是按2我個人的喜好程度排的，hhh
回答1：
秩就是基的個數，基就是特徵，基就用最小的粒度能夠描述所有的東西，如上面那張圖。所以機器學習裏很多都是在搞基。哈哈忽略我這個很水的答案吧
回答2：
你們家r口人,然後拍了n張照片.
這個r就是秩了.不知道這麼理解對不對.
很形象，但是可以更仔細的說一說，秩就是線性組合出所有照片所需要的最少的獨一無二的人的數量。
回答3：
作者：過擬合
鏈接：https://www.zhihu.com/question/21605094/answer/25213498
來源：知乎
著作權歸作者所有，轉載請聯繫作者獲得授權。
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首先，講到矩陣的秩，幾乎必然要引入矩陣的SVD分解：X=USV'，U,V正交陣，S是對角陣。如果是完全SVD分解的話，那S對角線上非零元的個數就是這個矩陣的秩了（這些對角線元素叫做奇異值），還有些零元，這些零元對秩沒有貢獻。
有了這個前提，我們就可以用各種姿勢來看秩了：
1.把矩陣當做樣本集合，每一行（或每一列，這個無所謂）是一個樣本，那麼矩陣的秩就是這些樣本所張成的線性子空間維數。如果矩陣秩遠小於樣本維數（即矩陣列數），那麼這些樣本相當於只生活在外圍空間中的一個低維子空間，這樣就能實施降維操作。舉個例子，同一個人在不同光照下采得的正臉圖像，假設每一張都是192x168的，且採集了50張，那構成的數據矩陣就爲50行192x168列的，但是如果你做SVD分解就會發現，大概只有前10個奇異值比較大，其他的奇異值都接近零，因此實際上可以將接近零的奇異值所對應的那些維度丟掉，只保留前10個奇異值對應的子空間，從而將數據降維到10維的子空間了。
2.把矩陣當做一個映射，既然是映射，那就得考慮它作用在向量x上的效果Ax。注意Ax相當於A的列的某個線性組合，如果矩陣是低秩的，這意味着這些列所張成的空間是外圍空間的一個低維子空間，這個空間由Ax表達（其中x任意）。換句話說，這個矩陣把R^n空間映射到R^m空間，但是其映射的像只在R^m空間的一個低維子空間內生活。從SVD理解的話，Ax=USV'x，因此有三個變換：第一是V'x，相當於在原始的R^n空間旋轉了一下座標軸，這樣只是座標的變化，不改變向量本身（例如長度不變）；第二是S(V'x)，這相當於沿着各個座標軸做拉伸，並且如果S的對角線上某些元素爲零，那麼這些元素所對應的那些座標軸就相當於直接丟掉了；最後再U(SV'x)，還是一個座標軸旋轉。總的來看，Ax就相當於把一個向量x沿着某些特定的方向做不同程度的拉伸（附帶上一些不關乎本質的旋轉），甚至丟棄，那些沒被丟棄的方向個數就是秩了。
這樣就有很多很直接的應用。例如考慮第一個意義。給定一堆數據，這些數據可能本身只是在一個低維子空間內生活（即可以用一個低秩矩陣表示），但是由於噪聲存在，我們拿到這些數據時它們看起來像是外圍空間中的點，沒有任何可以降維的跡象（即矩陣是滿秩的）。設我們拿到的數據是X，那麼根據這個設定，X應該能分解爲一個低秩矩陣L和一個噪聲矩陣E的疊加，即X=L+E。現在問題是如何恢復出L，因爲一旦找到L，就相當於去除了噪聲，同時降低了數據的複雜度（即維度）。怎麼恢復？可以通過求解min rank(L)+\|E\|_F^2, subject to X=L+E來恢復出L和E。秩就顯式地被用在這個問題裏了。當然，這個問題往往只是引子，無數論文在寫出類似問題後不到三行就會把rank(L)換成\|L\|_*，這個就是另外一些故事了。。。
按我的經驗，跟秩有關的問題以及幾何意義，只需要仔細分析矩陣的SVD分解就能解決。但很可惜，大學裏的線性代數更喜歡去介紹SVD的兄弟——特徵值分解，而這個兄弟又往往只偏好對稱陣，不像SVD這樣所有實矩陣都可以分析，導致處理一般矩陣的秩時沒有一個趁手的工具。
有了這個前提，我們就可以用各種姿勢來看秩了：
1.把矩陣當做樣本集合，每一行（或每一列，這個無所謂）是一個樣本，那麼矩陣的秩就是這些樣本所張成的線性子空間維數。如果矩陣秩遠小於樣本維數（即矩陣列數），那麼這些樣本相當於只生活在外圍空間中的一個低維子空間，這樣就能實施降維操作。舉個例子，同一個人在不同光照下采得的正臉圖像，假設每一張都是192x168的，且採集了50張，那構成的數據矩陣就爲50行192x168列的，但是如果你做SVD分解就會發現，大概只有前10個奇異值比較大，其他的奇異值都接近零，因此實際上可以將接近零的奇異值所對應的那些維度丟掉，只保留前10個奇異值對應的子空間，從而將數據降維到10維的子空間了。
2.把矩陣當做一個映射，既然是映射，那就得考慮它作用在向量x上的效果Ax。注意Ax相當於A的列的某個線性組合，如果矩陣是低秩的，這意味着這些列所張成的空間是外圍空間的一個低維子空間，這個空間由Ax表達（其中x任意）。換句話說，這個矩陣把R^n空間映射到R^m空間，但是其映射的像只在R^m空間的一個低維子空間內生活。從SVD理解的話，Ax=USV'x，因此有三個變換：第一是V'x，相當於在原始的R^n空間旋轉了一下座標軸，這樣只是座標的變化，不改變向量本身（例如長度不變）；第二是S(V'x)，這相當於沿着各個座標軸做拉伸，並且如果S的對角線上某些元素爲零，那麼這些元素所對應的那些座標軸就相當於直接丟掉了；最後再U(SV'x)，還是一個座標軸旋轉。總的來看，Ax就相當於把一個向量x沿着某些特定的方向做不同程度的拉伸（附帶上一些不關乎本質的旋轉），甚至丟棄，那些沒被丟棄的方向個數就是秩了。
這樣就有很多很直接的應用。例如考慮第一個意義。給定一堆數據，這些數據可能本身只是在一個低維子空間內生活（即可以用一個低秩矩陣表示），但是由於噪聲存在，我們拿到這些數據時它們看起來像是外圍空間中的點，沒有任何可以降維的跡象（即矩陣是滿秩的）。設我們拿到的數據是X，那麼根據這個設定，X應該能分解爲一個低秩矩陣L和一個噪聲矩陣E的疊加，即X=L+E。現在問題是如何恢復出L，因爲一旦找到L，就相當於去除了噪聲，同時降低了數據的複雜度（即維度）。怎麼恢復？可以通過求解min rank(L)+\|E\|_F^2, subject to X=L+E來恢復出L和E。秩就顯式地被用在這個問題裏了。當然，這個問題往往只是引子，無數論文在寫出類似問題後不到三行就會把rank(L)換成\|L\|_*，這個就是另外一些故事了。。。
按我的經驗，跟秩有關的問題以及幾何意義，只需要仔細分析矩陣的SVD分解就能解決。但很可惜，大學裏的線性代數更喜歡去介紹SVD的兄弟——特徵值分解，而這個兄弟又往往只偏好對稱陣，不像SVD這樣所有實矩陣都可以分析，導致處理一般矩陣的秩時沒有一個趁手的工具。
【注：恩，，，有時間再仔細看看svd吧】
回答4：
首先來想一個問題，最初的那個人爲什麼爲什麼要叫他爲“秩”，爲什麼不叫“豬”“牛”“馬”？
舉個例子就很容易理解，大家排隊買票。如果大家互相不認識，那就會一個排一個，非常有秩序。然而，如果突然來了一個與隊伍前面的人認識的人，這個人又不自覺，非要插隊。那後面的人肯定要有意見了，說你要是這樣我前面還有認識的人呢，你插我也插，這樣整個隊伍就亂掉了，誰也買不成。
通過這個例子，可得以下結論：彼此不認識，那就不相關，就有秩序，問題就好解決；反之，彼此相關，就沒有秩序，問題就不好解決。
所以，數學家們定義，矩陣中的最大的不相關的向量的個數，就叫秩，可以理解爲有秩序的程度。
從社會學的角度在考慮一下，政府機關是講人際關係的地方，可謂是關係錯綜複雜，通常都是近親繁殖。顯然，這些部門，用矩陣來說，就不滿秩，秩非常小。可以想象這些地方的工作肯定是搞不好的，因爲沒有秩序。所以想找個好單位，滿秩可以作爲一項評價指標哦~
作者：念夏
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